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 ceux-ci", B''C*D<'E''..., C"D*E''F'^..., etc.,\es p — i termes successifs se repro- 

 duirontpériodiquement. Nous représenterons leur somme par T(A''B*C''D''...), 

 et nous la nommerons tournante simple de p — t termes. Il est évident : 

 i " que tous les termes ont le même coefficient ; 2° que l'exposant b-h2C-i-^d... 

 de a reste le même, parce qu'il varie seulement d'un multiple de p — 1. 

 Quand on n'aura pas égard à la disposition des facteurs, le premier terme 

 de la tournante pourra se représenter pour la première fois au rang n-+i, 

 alors n sera nécessairement un diviseur de p — i , et la tournante sera formée 



de — = |j, périodes ; en réunissant tous les termes d'une période, la quan- 

 tité Po + P, a 4- P^a^... se disposera en groupes 



^,7,'', ■' T„(A°B*C^..)a*'-°'"-"'-^--, 



al b'.cl fi f^^ > ' 



l'indice ja de T rappelant que la tournante est formée de /x périodes. 



» Il suffit donc de prouver que chaque tournante vaut p — \ ou — i , pour 

 que le théorème soit démontré. 



» Or c'est là une conséquence immédiate du lemme. En effet, T(A''B*C''...), 

 qui revient à 



est égal à 



S\ a + bg -\- cg'-- ■ est multiple de p, la somme est p — 1 ; sinon, en posant 



a-h bg ■+■ cg*...= n, 



comme i, g, g*, etc., sont, à l'ordre près, i, 2, 3,..., p — i, les exposants 

 deviendront, à l'ordre près, n, 2 n, 3 n, etc., ou, en prenant les restes de la 

 division par p, i, a, 3,...,/7 — i. La somme est donc 



X -+■ x'-h...-h XP~* = — I . 



» Ainsi on aura, en remplaçant les tournantes par p — i ou — i , 



Po+ P<a + ...+ Pp_2a''-=' = p.Q-R. 

 La quantité R n'est autre que la somme 



y* />— 1! i^ 



éLi alblcl' u. 





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