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temps. Mais cette opération et les transformations de même nature, effec- 

 tuées à l'aide des méthodes connues, substituent généralement aux fonctions 

 données des séries composées d'un nombre infini de termes; et ce n'est 

 qu'avec peine que l'on parvient soit à démontrer la convergence de ces 

 séries, soit à déterminer leurs modules et les valeurs approchées des termes 

 de rang élevé. Or ces démonstrations et ces déterminations deviennent 

 fiiciles, lorsqu'on s'appuyant sur les formules générales que j'ai proposées 

 en i83i et en 1846, on commence par transformer les fonctions implicites 

 en intégrales curvilignes étendues aux périmètres entiers de certaines 

 courbes fermées. Ces intégrales, une fois obtenues, on peut les développer 

 en séries de diverses manières. Il y a plus : les courbes fermées auxquelles 

 se rapportent les intégrales curvilignes peuvent, au gré du calculateur, s'é- 

 tendre ou se rétrécir, du moins entre certaines limites; ce qui permet d'as- 

 signer à ces intégrales une infinité de formes diverses. En opérant comme 

 on vient de le dire, on pourra transformer, par exemple, une fonction 

 implicite en une somme d'intégrales, dont les unes étant circulaires, c'est- 

 à-dire étendues aux circonférences de certains cercles, se réduiront à des 

 moyennes isotropiques; tandis que les autres, réduites à des intégrales sin- 

 gulières du premier ou du second ordre, pourront être, dans le premier 

 cas, représentées par des résidus d'une même fonction. 



Concevons, pour fixer les idées, que deux variables .y et D soient repré- 

 sentées par deux fonctions explicites d'une troisième variable u, et que ces 

 deux fonctions restent monodromes et monogènes entre des limites quel- 

 conques. Ù sera une fonction implicite de la variable s ; et, après avoir 

 transformé cette fonction implicite iî, ou une puissance quelconque 

 de ù, en une fonction explicite de s, représentée par une somme d'inté- 

 grales définies, on pourra aisément développer cette somme en une série 

 ordonnée suivant les puissances entières, ascendantes et descendantes 

 de s. Pour y parvenir, il suffira de développer en une progression géomé- 

 trique ordonnée ou suivant les puissances ascendantes, ou suivant les puis- 

 sances descendantes de s, l'un des facteurs renfermés sous le signe / dans 

 chacune des intégrales que comprend la somme dont il s'agit ; ou bien, sous 

 le signe 31^ ou O' dans les moyennes isotropiques, ou dans les résidus 



substitués à ces intégrales. Chacun des deux modules 4'une série ainsi 

 obtenue sera généralement inverse du module d'une valeur imaginaire 



de s, pour laquelle l'un des facteurs renfermés sous le signe / î ou STt , 



