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 recherche. J'ajouterai, aujourd'hui, qu'on peut encore résoudre très-sim- 

 plement les problèmes de ce genre, en s'appuyant, comme je vais le dire, 

 sur la considération des points associés et des rayons vecteurs associés. 



» Les positions de deux points mobiles étant rapportées à trois axes coor- 

 donnés rectangulaires ou obliques, ces deux points mobiles seront nommés 

 points associés lorsque les coordonnées rectilignes de l'un seront des fonc- 

 tions linéaires et homogènes des coordonnées de l'autre. Alors aussi les 

 rayons vecteurs menés de l'origine à ces deux points seront nommés rayons 

 vecteurs associés. 



» Les coefficients constants des coordonnées de l'un des points dans les 

 expressions des coordonnées de l'autre changeront généralement de valeurs, 

 non-seulement si l'on échange les deux points mobiles entre eux, mais en- 

 core si l'on fait tourner les axes autour de l'origine, ou si l'on échange entre 

 elles deux parties d'un même axe, par exemple le demi-axe des abscisses 

 positives et le demi-axe des abscisses négatives. Ces changements de valeurs 

 ])euvent d'ailleurs se déduire des formules générales qui servent à la trans- 

 formation des coordonnées ; mais, sans recourir à ces formules, j'ai reconnu 

 qu'on peut établir directement plusieurs théorèmes dignes de remarque 

 spécialement relatifs au cas où les axes coordonnés sont rectangulaires. 

 Parmi ces théorèmes je citerai les deux suivants : 



» i" Théorème. Si l'on fait tourner autour de l'origine les trois axes 

 coordonnés supposés rectangulaires, la somme des trois coefficients qui 

 affecteront les coordonnées d'un point mobile, dans les expressions des 

 coordonnées de même espèce d'un point associé, demeurera invariable. 



» 2' Théorème. Les trois axes coordonnés étant supposés rectangulaires, 

 si l'on fait tourner autour du premier le plan des deux autres, de manière à ce 

 qu'il décrive, avec un mouvement de rotation direct, un certain angle ç, non- 

 seulement le coefficient de la coordonnée d'un point mesuré sur le premier 

 axe dans l'expression de la coordonnée de même espèce d'un point associé, 

 restera invariable, mais, de plus, les huit autres coefficients qui affecteront 

 les coordonnées du premier point dans les expressions des coordonnées du 

 point associé vérifieront quatre conditions très-simples en vertu desquelles, 

 de quatre fonctions linéaires, mais imaginaires, de ces coordonnées, la pre- 

 mière restera invariable, tandis que les deux suivantes varieront dans le 

 rapport de 1 à i_ , et la dernière dans le rapport de i à i_a . 



» Si, pour plus de commodité, on nomme x, y, z les coordonnées d'un 

 premier point, x, y, z les coordonnées du point associé, et 



(x, x), (x,jr), (x, 2.), 



C. R., 1854, ^•"SemetUe.ÇÏ. XXX.VUt , WS.) lO 



