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intégrales simples considérées par l'auteur, sont celles qui peuvent être pré- 

 sentées sous la forme 



J jrD, xds, 



s désignant un arc de courbe, et a:,j des fonctions réelles ou imaginaires 

 de s, liées entre elles par une équation caractéristique, algébrique ou trans- 

 cendante, 



(i) i[x,y) = o. 



Considérons spécialement le cas où l'équation caractéristique est algébrique 

 et de forme réelle; alors, pour chaque valeur réelle de x, l'équation (i), 

 résolue par rapport à j, fournira une ou plusieurs valeurs réelles ou imagi- 

 naires, par conséquent de la forme 



7 = «, 

 ou de la forme 



j- = t» + u'i 



M, V, w étant des fonctions réelles de x. Cela posé, concevons que, la 

 variable x représentant une abscisse, on construise : i° la courbe dont l'or- 

 donnée serait représentée par la fonction « ; 2° la courbe dont l'ordonnée 

 serait représentée par la somme v -h w, les axes coordonnés étant ou rec- 

 tangulaires ou obliques. Ces deux courbes seront celles que M. Marie 

 nomme la courbe réelle et la conjugée de la courbe réelle. Si, avant de 

 résoudre l'équation (i), on opère une transformation de coordonnées, en 

 assignant une direction nouvelle à l'axe des jr, on substituera ainsi aux va- 

 riables X, jr deux nouvelles variables x^, j^^ qui offriront toutes deux, 

 pour une valeur réelle de x et pour une valeur imaginaire de j, des 

 valeurs correspondantes imaginaires dans lesquelles le rapport entre les 

 coefficients de i sera constant. Réciproquement, si l'on attribue à x une 

 valeur réelle, età ^, une valeur imaginaire qui satisfasse avec x^ à l'équation 

 caractéristique transformée, les valeurs correspondantes de jt, y seront géné- 

 ralement imaginaires, mais le rapport entre les coefficients de i dans ces 

 diverses valeurs sera constant. De cette observation il résulte qu'à une même 

 courbe réelle, représentée par l'équation (i), correspondent, en nombre 

 infini, des courbes conjuguées dont chacune a pour coordonnées variables 

 des valeurs réelles de x,jr que l'on obtient, en remplaçant i par i , dans des 



