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 Alors les séries peuvent encore être supposées ordonnées suivant les puis- 

 sances entières ascendantes et descendantes de l'exponentielle trigonomé- 

 trique s qui a pour argument cette anomalie moyenne. Or, en s'appuyant sur 

 les formules que j'ai données dans le précédent Mémoire, on peut aisément 

 développer en une semblable série une fonction rationnelle et même son- 

 vent une fonction irrationnelle de l'exponentielle trigonométrique u qui a 

 pour argument l'anomalie excentrique. Considérons, pour fixer les idées, le 



cas où la fonction développée Q est une fonction entière de m et de -; alors, 



en égalant la sécante de l'anomalie excentrique à l'excentricité, on obtiendra 

 pour cette anomalie une infinité de valeurs imaginaires auxquelles corres- 

 pondront seulement deux valeurs, toutes deux réelles, de la variable s, et 

 la plus petite de ces deux valeurs sera précisément la valeur commune des 

 deux modules du développement de û. De plus, le module du ?i'""" terme 

 sera sensiblement proportionnel, lorsque n sera très-grand, à la n'^""" puis- 

 sance du module divisée par la racine carrée de n. 



» Ces conclusions subsistent, et permettent d'effectuer aisément les cal- 

 culs, quelle que soit la grandeur de l'excentricité, pourvu qu'elle reste sen- 

 siblement inférieure à l'unité. Elles permettent donc d'établir encore avec 

 facilité la théorie des petites planètes. Lorsque l'excentricité se réduit à 

 l'unité, le module de chaque série étant lui-même l'unité, l'inspection de ce 

 module ne suffit plus à constater la convergence de la série. Mais alors, en 

 suivant la méthode ici exposée, j'obtiens encore une valeur très-approchée 

 du terme dont le rang est n, et, en supposant, pour fixer les idées, la fonction 

 il réduite au sinus de l'anomalie excentrique, je prouve que, pour de grandes 

 valeurs de «, le module de ce terme est sensiblement proportionnel à l'unité 

 divisée par n et par la racine cubique de n. Ajoutons que, dans la valeur 



approchée de ce module, l'intégrale eulérienne T ( - J = y/nse trouve rem- 

 placée par une autre intégrale eulérienne de même espèce, savoir, par 

 r ( ^ J5 qui se trouve ainsi substituée à la première, quand on passe de la 



théorie des planètes à la théorie des comètes. 



» Lorsque l'excentricité diffère très-peu de l'unité, la méthode exposée 

 est encore applicable, et permet de trouver aisément les développements en 

 séries avec les valeurs très-approchées des termes de rang élevé. Elle permet 

 donc d'établir directement, dans un grand nombre de cas, et sans recourir 

 aux quadratures, la théorie des comètes périodiques. Ce résultat paraîtra 

 sans doute digne de quelque attention. 



