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variable s quand on égale la sécante de l'anomalie excentrique à l'excen- 

 tricité; et le coefficient d'une puissance entière de s dans la même série 

 pourra être représenté par une intégrale curviligne relative à une courbe 

 fermée qui aura pour affixe la variable u et qui enveloppera de toutes parts, 

 dans le plan des affixes, le point pris pour origine. La courbe à laquelle 

 correspond la forme généralement attribuée à cette intégrale est celle qui 

 se rapporte au module i del'affixe u; c'est-à-dire la circonférence du cercle 

 qui a pour centre l'origine, autrement appelée pôle, et pour rayon l'unité. 

 Mais, en nommant ïj la plus petite des valeurs qu'acquiert la variable u, 

 quand on égale l'anomalie excentrique à l'excentricité, et en désignant par n 

 un nombre très-considérable, on pourra, dans la détermination du coeffi- 

 cient qui affecte la puissance du degré — n, ou du degré n, substituer avec 

 avantage à la circonférence dont il s'agit, celle qui a pour rayon -rj ou 



— Alors, le coefficient Q„ de s" et le coefficient û_„ de s~" se trouveront 



V, 



représentés par de nouvelles intégrales cnrvilignes, qui se développeront sans 

 peine en séries très-convergentes, dont il suffira de calculer quelques termes 

 pour obtenir des valeurs très-approcbées de Û„ et de û_„. 



» Si l'on considère, au beu d'une planète qui décrive une ellipse, une 

 comète qui décrive une parabole, ou bien encore, s'il s'agit de résoudre le 

 problème relatif aux projections homalographiques, le module /) de la série 

 qui représente le développement de la fonction û, deviendra équivalent 

 à l'unité. Alors aussi les développements de li„ etdeii_„en séries changeront 

 déforme; et pour obtenir, avec une grande facilité, les nouveaux dévelop- 

 pements, il conviendra de faire correspondre les intégrales curvilignes qui 

 les représenteront, non plus à deux circonférences de cercles, mais à deux 

 courbes formées chacune par la réunion de deux portions de spirales loga- 

 rithmiques. Concevons, pour fixer les idées, que l'on cherche le coefifi- 

 cient û„ delà puissance de s du degré». Ce qu'il y aura de mieux à faire, ce 

 sera de construire deux spirales logarithmiques qui partent simultanément 

 du point situé sur l'axe polaire à la distance i du pôle, en formant avec cet 

 axe un angle égal aux deux tiers d'un angle droit, et qui s'arrêtent au mo- 

 ment où elles rencontreront pour la première fois le prolongement de l'axe 

 polaire. I^e système de ces deux spiraleis composera une sorte de courbe 

 fermée en forme de cœur, et l'intégrale curviligne correspondante à cette 

 courbe pourra être aisément développée en une série qui deviendra très- 

 convergente pour de très-grandes valeurs de n. Ce qui paraîtra, sans doute, 

 digne de remarque, c'est que le nouveau développement, réduit à ses deux 



