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deviendra divergente, à partir de l'instant où le paramètre t acquerra ua 

 module tel, que, pour ce module et pour une valeur convenablement choisie 

 de l'argument de t, la racine a cesse d'être simple. Soit 9 le module dont il 

 s'agit. Quand le paramètre t offrira un module inférieur à Ô, on pourra 

 développer, suivant les puissances entières et ascendantes de t, non- 

 seulement la racine a, mais encore toute fonction monodrome, monogène 

 et finie de cette racine, par exemple une puissance entière de a; et le mo- 

 dule de chaque série sera généralement le module du rapport -• Si le module 



de t devient supérieur k 6 , on ne pourra plus développer, suivant les 

 puissances ascendantes et entières de <, ni la racine a, ni aucune de celles 

 qui pourront cesser d'être, en même temps qu'elle, des racines simples, 

 mais seulement la somme de ces diverses racines ou de fonctions sem- 

 blables de ces racines, par exemple la somme de leurs carrés, de leurs 

 cubes, etc.; ce qui permettra, si m est le nombre de ces mêmes racines, 

 de faire dépendre leur détermination de la résolution d'une équation du 

 degré m. 



n Considérons maintenant le cas où, pour une valeur nulle du para- 

 mètre t, l'équation donnée offre non plus une seule racine, mais m racines 

 égales dont la valeur est a. Alors, d'après ce qui vient d'être dit, on pourra 

 faire dépendre la détermination de ces racines de la résolution d'une équa- 

 tion du degré m, dont les coefficients seront déveioppables en séries con- 

 vergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de t. Mais on peut 

 aller plus loin, et je suis en effet parvenu à établir les deux propositions 

 suivantes : 



» Dans le cas dont il s'agit, on peut encore, pour des valeurs suffisam- 

 ment petites du module de t, développer chacune des racines qui acquièrent 

 la valeur a pour une valeur nulle de f, en une série convergente ordonnée 

 suivant les puissances ascendantes de t. Seulement ces puissances ont pour 



degrés les divers multiples du rapport - • 



Il Dans le même cas, si, le module de t venant à croître, on nomme 6 la 

 valeur qu'acquiert ce module au moment où l'une des racines développées 

 peut cesser d'être une racine simple, le développement de chaque racine 

 sera représenté par une série qui sera convergente jusqu'à ce moment, et 



— » 



qui aura pour module le module de ( - i • 



» D'ailleurs, à l'aide des formules établies dans les précédents Mémoires,, 



