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Ces formules étaient connues. Elles expriment ce qu'on peut appeler la 

 conservation de la moyenne arithmétique, dans les successions d'événe- 

 ments composés d'événements simples soumis à une même loi de proba- 

 bilité. La moyenne des sommes d'événements est la somme, ou un mul- 

 tiple, des moyennes d'événements simples. Avec d'autres conditions, il y 

 aurait d'autres modes de combinaison des moyennes. Celui-là suffit pour 

 ce dont il s'agit en ce moment. 



» Mais la moyenne arithmétique n'est point la seule qui se conserve 

 ainsi. 



» On a visiblement 



9"0) = S. ba. (a — i) z«- 2 = S . ba 2 z«~ 2 — S . buz*-* ; 

 par suite, la seconde dérivée logarithmique 



?(*) L?( Z )J "" S.bz* L S.bz* J ' 



et faisant z = i , 



1}Û- f£$T = S.fta» -{S.baf - S.ba. 



Semblablement, la seconde dérivée du produit 



P = S.Bz* 

 sera , pour z = i , 



S.Bc; î -(S.Bff) a - S.Ba. 



D'où l'on conclut sur-le-champ, en ayant égard à la valeur de S . Bc-, 



S.Bcr 2 - (S.Bff) 1 = S.ba 1 - {S.ba) 2 



+ s.b§ a -{s.b§y 



-hS.bf- (S.6y) 2 +.... 

 Posant 



p. a = S.£a, p. g = S.&g, ^ = S.by,..., fx. ff =S.Ba, 



on peut remarquer que la moyenne des carrés diminuée du carré de la 

 moyenne, est égale à la moyenne des différences de toutes les quantités à 

 leur moyenne; de sorte qu'on trouve 



S.B (a - p,)» = S.b (a - ^ + S. b (S - N ) 2 + .... 

 Pour le cas d'égalité des a, S, y, etc., il vient donc 



S-B(<7-^) 2 =rcS.£(a-f* tt ) a ; 



