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degré en x, y. Le lieu du point m est donc une courbe du quatrième ordre ; 

 et l'on vérifie aisément que cette courbe passe par les huit points a, b, etc. 

 Ce qui démontre le théorème. 



application des deux théorèmes généraux à une courbe quelconque du quatrième ordre. 



» Théorème. Toute courbe du quatrième ordre peut être formée par les 

 intersections des coniques d'un premier faisceau, coupées respectivement par 

 les coniques d'un second faisceau qui leur correspondent anharmonique- 

 ment;on peut prendre arbitrairement sur la courbe les quatre points fixes 

 par lesquels passeront toutes les coniques du premier faisceau, et l'un des 

 quatre points par lesquels passeront les coniques du second faisceau. 



» En effet, que par les quatre points a, b, c, d pris sur la courbe pro- 

 posée on mène une conique quelconque A qui rencontrera la courbe en 

 quatre autres points e, f, g, h; et que par ceux-ci et le point a' pris sur 

 la courbe on mène une conique A' qui rencontrera la courbe en trois 

 autres points b', c', d'. Que par les deux systèmes de quatre points 

 a, b, c, d et a', b', c', d' on mène deux coniques B, B' passant par un même 

 point i de la courbe, puis deux coniques C, C passant par un autre point k 

 de la courbe ; et enfin deux coniques D, D' telles, que le rapport anharmo- 

 nique des quatre, A, B, C, D, soit égal à celui des quatre A', B', C, D'; le 

 lieu des points d'intersection de ces deux coniques variables D, D' sera une 

 courbe du quatrième ordre qui passera par les quatorze points a, b, c, d, 

 a', b\ c',d', e,f, g, h, i, k. Or, par ces quatorze points on ne peut faire 

 passer qu'une courbe du quatrième ordre, car par les treize premiers on 

 pourra mener une infinité de courbes de cet ordre, lesquelles auront, 

 comme on sait, trois autres points communs. Mais le point À" étant pris 

 arbitrairement sur la courbe proposée, on pourra le prendre de manière 

 qu'il ne soit pas l'un de ces trois autres points; et alors par les quatorze 

 points ne passera qu'une courbe du quatrième ordre, laquelle sera, par 

 conséquent, la courbe proposée. Ce qui démontre le théorème. 



» Théorème. Toute courbe du quatrième ordie peut être considérée 

 comme le lieu géométrique du sommet commun de deux faisceaux de quatre 

 droites tournant autour d'autant de points fixes, de manière que les rapports 

 anharmoniques des deux faisceaux aient entre eux une relation constante 

 de la forme 



a.rr'-v- % r.+ y . r' + â = o ; 

 les quatre points de la courbe autour desquels tournent les quatre rayons du 



