(3 7 8 ) 



Application des deux théorèmes généraux à une courbe du quatrième ordre quelconque ayant 



deux points doubles. 



» Théorème. Quand une courbe du quatrième ordre a deux points 

 doubles, si l'on prend arbitrairement deux points a, b sur cette courbe, on en 

 peut prendre deux autres a', b', dont l'un est arbitraire, de manière que si 

 par chaque point de la courbe on mène deux coniques, dont l'une passe par 

 les deux points doubles et les deux points a, b, et l'autre par les deux points 

 doubles et les deux points a', b', i° ces deux coniques se couperont toujours 

 en un quatrième point situé sur la courbe, et i° leurs tangentes menées par- 

 les deux points a, a' jormeront deux faisceaux hornographiques. 



» Carie point a' étant pris arbitrairement, on déterminera le point b' en 

 menant par les deux a, b une conique quelconque passant par les deux 

 points doubles, laquelle rencontrera la courbe du quatrième ordre en deux 

 points e,J ; et par ces points on mènera une conique passant par les deux 

 points doubles et par le point a'; cette conique rencontrera la courbe en 

 un sixième point qui sera le point b'. 



» Théorème. Quand une courbe du quatrième ordre a deux points 

 doubles, on peut la considérer comme le lieu du sommet commun à deux 



faisceaux de quatre droites tournant, les quatre premières autour des 

 deux points doubles et de deux points fixes quelconques de la courbe, et 

 les quatre autres autour des deux points doubles et de deux autres points 



fixes de la courbe, dont l'un sera pris arbitrairement, de manière que les i ap- 

 ports anharmoniques des deux faisceaux aient entre eux une relation con- 

 stante de la forme. 



a.r.r'-h g . r -+- y . r' -+- â = o. 



» Ce théorème sera susceptible de diverses conséquences qui s'appli- 

 queront aux courbes du troisième ordre. 



Courbes ayant deux points imaginaires à l'infini sur un cercle. 



» Concevons, dans le premier théorème général, que les coniques du 

 premier faisceau soient quelconques, et que celles du second soient des 

 cercles passant par deux points fixes a', b' (réels ou imaginaires); ces cer- 

 cles ont deux autres points communs, imaginaires, à l'infini, par lesquels 

 passe la courbe du quatrième ordre. On peut donc dire que la courbe 

 a deux points imaginaires à l'infini, situés sur un cercle. Eu d'autres 

 termes, la courbe a deux asymptotes imaginaires, coïncidentes avec les 

 asymptotes d'un cercle (* ). 



(*) La direction imaginaire M de ces asymptotes, rapportée à deux axes fixes quelconques 



