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contrera la courbe en quatre autres points a, b, c, d. Ces quatre points et 

 les deux a', b' satisfont à la question. 



» Nous avons conclu ces propositions du premier des deux théorèmes 

 généraux. Il ne sera pas sans intérêt de voir comment on peut les conclure 

 aussi du second, exprimé par la relation 



a . rr' -+- g . r + 7 . r' -t- â = o, 



entre les rapports anharmoniques des deux faisceaux de quatre droites 

 menées de chaque point de la courbe aux deux systèmes de quatre points 

 a, b, c, d et a', b', c', d'. Ici les deux points c', d' sont à l'infini sur un 

 cercle. Les rayons menés d'un point m à ces deux points peuvent être con- 

 sidérés comme étant les rayons doubles de deux faisceaux homographiques 

 décrits respectivement par les deux côtés d'un angle de grandeur con- 

 stante tournant autour de son sommet m (*), et la direction de ces rayons 

 doubles se détermine par une équation du second degré dont les racines 

 sont, en appelant E, F les deux rayons doubles, et A', B' deux axes fixes 

 quelconques, 



s Êr^W) = cos < A '' B ') + jFÏ' sin ( A '« B ')' 



sin (A', F) 



£wM = cos ( A '' B ')- v- '- sin ( A '> B ') n-- 



Le rapport anharinonique des quatre droites A', B', E, F est 



, _ sin (A 7 , E) . sin (A', F) __ cos (A', B') + y/^Tsin(A', B') __ 1 -+- s/^ tang (A', B'j 

 " sin(B', E)-sin(B', F) ~ cos r^', B') — y/CT sin(A'.B') ~~ 1 — V / := Ttang(A', B')' 



A' etB' étant deux axes quelconques, prenons pour ces axes les deux droites 

 ma', mb'; r' sera le rapport anharmonique des droites menées du point m 

 aux quatre points a', b', c', d', dont les deux derniers d , d' sont imagi- 

 naires à l'infini sur un cercle; appelons 6' l'angle a' mb' = (A', B'), de sorte 

 1 -f- y/ — 1 . tang 9' 



nie / 



y= — L équation entre r et r devient 



1 — y — 1 . tang 9' 



(a , +7) H^!; + (g , + ^ 0) 



1— y— 1 .tang 9' 



ou 



(a — g) \J-~ 1 . /• tang Q' -+- (a + g) r -+- (y — â) y/— 1 tang $' + y + c? = o , 



(*) Traité de Géométrie supérieure, page 461 , art. 65t. 

 (**) Ibid., page 125. 



