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» Or est égal à l'angle des deux droites menées d'un point du cercle 

 auquel appartient la tangente relative à l'angle 0, aux deux points a, b; et 

 de même de l'angle 0'. Il s'ensuit que l'on a ce théorème : 



» Théorème. Etant données deux droites ab, a'b', le lieu d'un point 

 d'où l'on aperçoit ces droites sous des angles 0, 0' ayant entre eux la rela- 

 tion constante 



a.tang0. tang0' -+- ê.tang0 4- y.tang0' + è = o 



est une courbe du quatrième ordre qui passe par les quatre points a, b, c, d 

 et qui a deux points doubles imaginaires à l'infini sur un cercle (*). 



» Par conséquent : Le lieu d'un point d'où l'on aperçoit deux droites 



fixes ab, à b' de longueurs données, sous des angles dont la somme, ou la 



différence, est con étante, est une courbe du quatrième ordre qui passe par 



les extrémités des deux droites, et qui a deux points doubles imaginaires à 



l'infini sur un cercle. 



» Réciproquement : Quand une courbe du quatrième ordre a deux points 

 doubles imaginaires à l'infini sur un cercle, si par deux points de la courbe 

 on fait passer deux cercles quelconques, dont chacun rencontrera la courbe 

 en deux autres points, a, b pour le premier, et a', b' pour le second, les 

 deux cordes ab, a' b' seront vues de chaque point de la courbe sous des 

 angles 9, 0' tels, qu'il existera entre leurs tangentes une relation constante 



ce . tang . tang 0' 4- ê . tang 4- 7 . tan g 0' -+■ à = o. 



» Si la courbe a, indépendamment de ses deux points doubles imagi- 

 naires à l'infini sur un cercle, un troisième point double, ou conjugué, le- 

 quel ne peut être que réel, ou peut prendre pour les deux cordes ab, a' b', 

 deux cordes quelconques ab, ab" issues du troisième point double a ; et le 

 théorème a lieu à l'égard de ces deux droites. 



» Les lemniscates formées par les pieds des perpendiculaires abaissées 

 d'un point fixe quelconque sur les tangentes d'une conique sont des cour- 

 bes du quatrième ordre ayant deux points doubles imaginaires à l'infini sur 

 un cercle, et un troisième point double, ou conjugué, au point d'où l'on 

 abaisse les perpendiculaires. Et réciproquement : Toute courbe du qua- 

 trième ordre qui a trois points doubles, dont deux imaginaires à l'infini sur 



(*) Quand le dernier terme S est nul , la courbe n'est que du troisième ordre, et a deux 

 points simples imaginaires à l'infini sur un cercle. 



