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coniques C, C, dont l'une arbitraire, qui auront leurs quatre points d'inter- 

 section situés sur cette conique 2 ; il suffit que le rapport anharmonique 

 des quatre coniques S, A, B, C soit égal à celui des quatre S, A', B', C (*). 



Cas où la courbe devient une ligne du troisième ordre. 



y> On peut considérer quatre cas dans lesquels la courbe du quatrième 

 ordre formée par les intersections de deux faisceaux de coniques s'abaisse 

 au troisième ordre. Mais dans un de ces cas, les coniques de l'un des deux 

 faisceaux cessent d'être des courbes, et sont toutes l'ensemble de deux 

 droites, l'une fixe et l'autre tournant autour d'un point fixe, de sorte que 

 le faisceau de coniques est remplacé, en réalité, par un faisceau de lignes 

 droites. 



» Voici l'énumération des quatre cas en question, qui constituent des 

 modes différents de description des courbes du troisième ordre, et autant 

 de propriétés de ces courbes, qui seront susceptibles de développements 

 ultérieurs assez étendus. 



» I. Les quatre points a, è, c, d du premier faisceau de coniques sont 

 quelconques, et les trois b\ c', d' du second faisceau sont pris en ligne 

 droite : alors chacune des coniques de ce faisceau, lesquelles doivent passer 

 par les quatre points a', b', c', d', est l'ensemble de deux droites, dont 

 l'une est la droite fixe b' c' d', et l'autre, une droite tournant autour du 

 point fixe a'. Chaque point de la droite b' c' d' appartient à la ligne du 

 quatrième ordre, parce que, par ce point passe une des coniques du pre- 

 mier faisceau; par conséquent, la seconde branche de cette ligne sera 

 une courbe du troisième ordre, lieu des points d'intersection des coni- 

 ques du premier faisceau par la droite tournant autour du point a'. Le 

 rapport anharmonique de quatre coniques sera égal à celui des quatre posi- 

 tions correspondantes de la droite. On retrouve ainsi le mode de généra- 

 tion des courbes du troisième ordre que nous avons démontré directement, 

 pour en conclure notre première construction de la courbe déterminée par 

 neuf points (**). 



(*) Ce théorème et son corrélatif par voie de dualité, démontrés d'une manière directe, 

 dans les leçons, à la Faculté des Sciences, sur la théorie des coniques, donnent lieu à des 

 développements qui embrassent les plus belles propriétés de ces courbes, et s'étendent aux 

 coniques sphériques. 



(**) Voir Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences ; séance du 3o mai i853. 



