( 44a ) 



» II. On prend les deux points c, d du premier faisceau et les deux c', 

 d' du second faisceau en ligne droite, et l'on suppose que la conique du 

 premier faisceau formée des deux droites ab, cd corresponde à la conique 

 du second faisceau formée des deux droites a' b', c' d'. Alors chaque point 

 de la droite cdc' d' appartient à la courbe du quatrième ordre, dont l'au- 

 tre branche, par conséquent, est une courbe du troisième ordre. Cette 

 courbe passe par les quatre points a, b, c, d et par le point d'intersection 

 des deux cordes a b, a' b'; mais elle ne passe pas par les autres points 

 c, d, c', d'. 



» Toutefois si les deux points c et c' coïncidaient en un seul, la courbe 

 passerait par ce point, parce qu'il serait, à l'égard de la courbe du qua- 

 trième ordre, un point double. Et de même si les deux points d, d' coïnci- 

 daient ensemble. 



» III. Les deux faisceaux de coniques peuvent être tels, que deux coni- 

 ques correspondantes aient toujours deux de leurs points d'intersection 

 sur une même droite, auquel cas les deux autres seront sur une courbe du 

 troisième ordre. Nous avons vu que les quatre points a, b, c, d du premier 

 faisceau étant donnés, ainsi que trois a', b', c', du second faisceau, on 

 peut déterminer le quatrième d' de manière que les coniques se coupent 

 toujours, deux à deux, sur un droite donnée. C'est cette considération qui 

 nous a fourni une seconde construction de la courbe du troisième ordre 

 déterminée par neuf points (*). 



» IV. Les deux systèmes de quatre points a, b, c, d et a', b 1 , c', d' étant 

 quelconques, on peut faire en sorte que les coniques des deux faisceaux se 

 correspondent deux à deux, de manière qu'elles aient toujours un de leurs 

 points d'intersection sur une même droite, auquel cas la courbe, lieu des 

 trois autres points d'intersection, sera simplement du troisième ordre. Il 

 suffit pour cela de prendre une droite joignant deux points des deux sys- 

 tèmes, tels que d etd'; car si, par chaque point n de cette droite, on mène 

 les deux coniques appartenant aux deux faisceaux, c'est-à-dire dont l'une 

 passe par les quatre points a, b, c, d, et l'autre par les quatre points 

 a', b', c', d', ces deux coniques se correspondront anharmoniquement sui- 

 vant l'énoncé du théorème général. En effet, les coniques du premier fais- 

 ceau menées par quatre points n de la droite dd\ auront leur rapport anhar- 

 monique égal à celui des milieux des quatre segments dn, lequel est égal à 

 celui des quatre points n. Pareillement, le rapport anharmonique desqua- 



(*) Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences; séance du 16 août i853. 



