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clair : l'auteur demande pour la première des trois irrationnelles, appelée la 

 majeure, que l'une des trois lignes forme avec chacune des deux autres une 

 somme de carrés rationnelle , et que le rectangle des deux lignes (c'est-à- 

 dire de celles-ci) soit médial. Il ajoute que, d'une manière analogue, on ob- 

 tient la droite qui peut une rationnelle et une médiate; et de même celle 

 qui peut deux médiates. On conçoit, par analogie avec les irrationnelles du 

 deuxième groupe d'Euclide, que cela signifie que, pour la droite qui peut 

 une rationnelle et une médiale , les sommes de carrés seront médiates , et 

 le rectangle rationnel; et que, pour la droite qui peut deux médiates , les 

 sommes de carrés seront médiates et le rectangle aussi médial. 



» Pour la majeure, les trois lignes composantes x,j, z satisfont aux 

 conditions exprimées par les équations 



.r 2 -f- j 2 = a, x 2 -+- z 2 = b, jz =t \Jc. 



M. Woepcke, en posant ces formules, donne les expressions des trois lignes. 



» On reconnaît aisément qu'on pourrait construire les deux autres irra- 

 tionnelles avec ces mêmes formules; qu'il suffit d'y remplacer a et b par \[â, 

 \Jb, en conservant y/c pour la ligne qui peut deux médiates, et en changeant 

 de en c pour celle qui peut une rationnelle et une médiale. 



» Cependant, pour ces deux lignes, M. Woepcke s'écarte de l'interpré- 

 tation naturelle du texte. Il remplace le rectangle jz par xj ; et il obtient 

 des expressions différentes des trois lignes x, y, z. 



» On forme toujours ainsi des irrationnelles à trois termes; mais cette ma- 

 nière, dont l'application aux irrationnelles d'un plus grand nombre de 

 termes, peut offrir quelques facilités, a-t-elle bien été dans l'intention de 

 l'auteur grec ; devons- nous croire qu'il ait poussé ses recherches au delà des 

 irrationnelles trinômes, et éprouvé le besoin de formules plus susceptibles 

 de généralisation, que celles qui semblent répondre au sens naturel du texte 

 arabe ? ' 



» Nous n'avons parlé jusqu'ici que des irrationnelles par addition. Ce 

 que l'auteur dit des irrationnelles par soustraction se réduit à très-peu de 

 chose, et il ne considère que des irrationnelles binômes. « Quand on a formé 

 » Yapoiome, dit-il, qui estla différence de deux droites rationnelles commen- 

 » surablos en puissance seulement, si de la droite retranchée, appelée par 

 » Euclide la congruente, on retranche une rationnelle commensurable en 

 » puissance seulement avec elle, on obtient encore un apotome ; et de même, 

 » si de la ligne retranchée dans cet apotome, on retranche une rationnelle 



