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 posé, on aura, en considérant x, y, z,... comme fonctions de x, y, z,..., 



!dx = D x x dx -+- D y .r dy -+- DzX dz + ..., 

 dy — l\y dx + D,r dy -4- D z j dz + ..., 



et, en considérant x, y, z,..., comme fonctions de x, y, z,..., 



dx = D x x dx 4- D r x dy -+- D a xdz + ..., 

 (2) { dy = D x y dy -+ D r y dy -+- D z z dz -+-..., 



Concevons maintenant que l'on combine entre elles, par voie de multipli- 

 cation, les différentielles dx, dy, dz,..., déterminées par les formules (1), 

 en considérant les différentielles 



dx, dy, dz, ... 



comme des clefs algébriques assujetties aux transmutations de la forme 



(3) dydx^^— dxdy. 



Posons d'ailleurs 



(4) dxdy'dz... ^ ,, 



et désignons, à l'aide de la notation \dx dy dz... |, ce que devient, eu 

 égard aux transmutations (3) et (4), le produit d-rdjdz... des diffé- 

 rentielles des variables x, y, z,.... La formule (3) et les formules sem- 

 blables entraîneront avec elles les transmutations de la forme 



(5) d;dx i=c— dxdy, 



et, eu égard aux formules (3), (4), (5), on tirera : i° des équations (1) 



(6) |dxd/dz...| = S(±D^D y jD z z..), 



2 des équations (2) 



( 7 ) i = |dadjdz...|S(±D ;i .xD y yD,z...}. 



Si, dans cette dernière formule, on substitue pour \dx àydz...\ sa valeur 

 tirée de l'équation (6), on obtiendra la suivante : 



(8) S(±D s xD,jD i î...)S(±D. r xD r jD J z...)= 1, 



6.. 



