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 l'équation 



(i5) [h, k] = constante, 



dans laquelle on aura 



(16) [fi,k] = T> h xD /l u- I) h uT) k x + D h yD k v - D A t>D*/ + ... ; 



et, eu égard à la formule (i4)» l'équation (i5) coïncidera évidemment avec 

 la formule (7). 



Observons à présent qu'en vertu des équations finies qui représenteront 

 les intégrales générales des équations (1), on pourra considérer non-seule- 

 ment les inconnues x, y, z,..., u, v, w,... comme fonctions de t et des 

 constantes arbitraires a, b, c,..., mais aussi a, b, c,... comme fonctions de 

 x, y, z,..., «, v, w,..., t. Cela posé, si, en nommant h, k deux fonctions 

 quelconques de x, y, z,..., u, v, w,..., t, on pose 



(17) (h, k)=:T) x hD u k -D u hD x k -hD r hV v k -VrhDyk-h..., 



on prouvera, comme dans le § I er , que les quantités (a, b), {a, c),..., 

 [b, c),... peuvent être exprimées par des fonctions rationnelles des quan- 

 tités [a, b], [a, c],..., [b, c], Donc, si l'on prend pour h, k deux quel- 

 conques des quantités a, b, c,..., la formule (i5 ), qui subsistera toujours 

 dans cette hypothèse, entraînera la suivante : 



(18) (A, k) = constante. 



Au reste, sans recourir aux calculs effectués dans le § I er , on pourra sans 

 peine établir la formule (1), en considérant d'abord le cas où les constantes 

 arbitraires a, b, c,... se réduisent aux valeurs particulières qu'acquièrent 

 les inconnues x, y, z,..., «, v, w,..., pour une valeur donnée, par exem- 

 ple, pour une valeur nulle de la variable t. En effet, soient x, y, z,..., u, 

 v, w,..., ces valeurs particulières, en sorte qu'on ait, pour t = o, 



(19) x = x, y = y, z = z,..., u = u, v = v, u> = w,.... 

 On aura, en vertu des équations (i5) et (16), 



( a0 ) [h, k] = D A xD A u - D A uD*x -t- D A yD*v - D A vD*y + .... 



D'ailleurs, si l'on prend pour h et k deux quelconques des quantités x, 

 y, z,..., u, v, w,..., les termes de la suite D A x, D A y, D A z,..., D A u, D A v, 

 D A w,..., et ceux de la suite D A x, D A y, D*z,..., D A u, D A v, D A w,..., s'éva- 

 nouiront tous, à l'exception des termes D A A, D k k, qui se réduiront l'un et 



