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quelconque n de tangentes doubles, les i a points de contact de ces tangentes 

 se trouveront à lajois sur une certaine courbe du troisième degré R*. 



» D'après cela, on aurait pour chaque système S, 216 courbes B 3 , et, en 

 tout, 1 4061 6 courbes B 3 . Mais la plupart de ces courbes se réduisent à des 

 coniques et des droites, de sorte qu'on a ce résultat principal : 



» Parmi les 28 tangentes doubles t, dune courbe du quatrième degré, il 

 y a, en général, 6048 fois 6 tangentes telles, que leurs 1 2 points de contact 

 se trouvent tous sur une courbe du troisième degré B 3 , proprement dite , 

 c'est-à-dire non décomposée. 



» § VI. Les 63 groupes G (§ II) peuvent être arrangés, quatre par quatre, 

 en systèmes S [4] tels, que pour trois groupes quelconques, mais qui ne con- 

 stituent pas un système S (§V), il y a toujours un quatrième groupe, mais 

 un seul, qui forme un système S [4] avec les trois autres, et ce quatrième 

 groupe ne doit pas non plus former un système S avec deux quelconques de 

 ceux-ci. Cela posé, il existe en totalité 9765 systèmes S [4] , qui jouissent, 

 entre autres, de cette propriété commune : 



» Si l'on choisit dans chacun des quatre groupes d'un système SVjjj, un 

 couple quelconque it de tangentes doubles, les 16 points de contact de ces 

 tangentes se trouveront à lajois sur une courbe du quatrième degré B*. 



» § VII. Pareillement les 63 groupes G peuvent être arrangés, cinq par 

 cinq, en systèmes S [s] tels, que pour 4 groupes quelconques, qui ne for- 

 ment entre eux ni un système S (§ V), ni un système S [4] (§VI), il y a 

 toujours un cinquième groupe, mais un seul, qui forme un système S [5 j 

 avec les quatre autres, et ce cinquième groupe ne doit pas non plus former 

 ni avec deux, ni avec trois des quatre premiers groupes, l'un des systèmes 

 énoncés précédemment. Il existe 109368 pareils systèmes S [5] , tous dis- 

 tincts entre eux, et jouissant de cette propriété: 



« Si l'on choisit dans chacun des cinq groupes d'un système S [5] , un 

 couple quelconque n de tangentes doubles, les 20 points de contact de ces 

 tangentes se trouveront à lajois sur une courbe du cinquième degré B 5 . 



» § VIII. Les 63 groupes G peuvent être arrangés encore 6 par 6, en 

 systèmes S [a] tels, que pour 5 groupes quelconques, qui ne forment 

 entre eux aucun des systèmes indiqués précédemment, il existe toujours 

 un sixième groupe, mais un seul, qui ne doit former non plus, ni avec 

 deux, ni avec trois, ni avec quatre des cinq premiers groupes, un des sys- 

 tèmes déjà énoncés. Le nombre de ces systèmes S [6} s'élève à 874944- Ef, 

 » Si l'on choisit, dans chacun des 6 gtoupes d'un système S [0i . un 

 couple quelconque n de tangentes doubles, les 24 points de contact de ces 



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