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» La méthode que j'ai adoptée n'a pas ce défaut; elle est complètement 

 analytique : elle consiste à employer d'abord trois fonctions intermédiaires, 

 qui ramènent les équations aux différences partielles, du second au premier 

 ordre, et à intégrer les équations ainsi réduites. Ces intégrales premières 

 étant obtenues, l'intégration d'un second groupe de trois équations aux 

 différences partielles du premier ordre conduit aux intégrales secondes, 

 c'est-à-dire aux séries qui doivent représenter, de la manière la plus géné- 

 rale, les projections du déplacement moléculaire dans le système sphérique. 



» Dans la question de physique mathématique qu'il s'agit de résoudre, 

 les équations à la surface sont au nombre de six. Elles expriment que les 

 trois composantes de la force élastique, qui s'exerce sur l'élément d'une sur- 

 face sphérique, sont des fonctions données des coordonnées angulaires, 

 lorsqu'on prend cet élément sur les parois de l'enveloppe. La théorie de 

 l'élasticité donne le moyen de déduire, par la différentiation et la combi- 

 naison des projections du déplacement, les expressions générales des trois 

 composantes dont il s'agit. Si, dans les séries qui les représentent, on égale 

 successivement le rayon à celui de l'une et de l'autre paroi, il en résulte six 

 développements, ne contenant d'autres variables que les coordonnées 

 angidaires, et qu'il faut identifier avec les fonctions données. 



» Ces six équations à la surface devaient conduire à la détermination 

 complète de tous les coefficients arbitraires introduits par l'intégration. 

 C'est, en effet, ce qui a lieu. Mais, ici, la belle méthode d'élimination, si 

 fréquemment employée dans la Mécanique céleste et dans la Théorie ana- 

 lytique de la chaleur , serait insuffisante sans une extension importante que 

 je vais indiquer. Deux des six équations à la surface, celles qui expriment 

 les composantes des forces données, normales aux éléments sphériques, ne 

 contiennent la latitude que dans une seule espèce de facteurs, et la méthode 

 ordinaire leur est applicable. Les quatre autres, au contraire, contiennent 

 la latitude sous deux espèces différentes de facteurs, et la détermination des 

 constantes arbitraires exige la découverte d'une nouvelle méthode d'élimi- 

 nation : car il s'agit de deux suites de coefficients indéterminés, entrant 

 simultanément dans deux équations, lesquelles expriment, chacune, que la 

 somme de deux séries distinctes doit être égale à une fonction donnée. 



» C'est un problème d'analyse que je crois nouveau en physique mathé- 

 matique, et qui se présentera nécessairement dans tous les cas généraux de 

 l'équilibre d'élasticité. Sa solution m'a d'abord paru difficile à découvrir ; 

 mais, telle est l'admirable fécondité qu'offre l'ensemble des propriétés que 

 les géomètres ont trouvées dans l'emploi des coordonnées sphériques, qu'en 



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