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 » On sait que les dérivées logarithmiques de <p (z) seront 



?'(») . ?"(') |Yii)T. <(») » t'(»)t'(') , ,iv(«)T. 

 ? ( Z )' T ( S ) Lf(«)J ' f(») (?«)' Ln*)J ' 



t"(») _ , y" («)?'(») _ o [y"(»)T , .- ?"(«)[*'(»)]• _ fitfKîH 

 ?(*) * "[?(«)]' [*(»)]• [»(«)f " [?(*)] 4 '' 



Mais on sait aussi que les dérivées logarithmiques d'un produit 



P = ? (z)^(z) X (z)... 



sont respectivement les sommes des dérivées de même ordre des logarithmes 

 des facteurs 



«*'(!• P) _ <*" [>•?(«)] , <*"['-4(«)] , à'[ï. x (*)] 



dz" dz" dz" dz" 



Quel que, soit cet ordre, cette dérivée, si le produit se réduit à une puis- 

 sance, est donc simplement égale à n fois la dérivée de l'unique facteur 

 de la puissance. Cette propriété singulière est un des fondements du calcul 

 des probabilités, comme on le reconnaît en examinant ce que deviennent 

 ces dérivées, alors qu'on y fait disparaître la variable z, qui n'a été intro- 

 duite que pour porter les exposants. 



» On peut remarquer, d'abord, que la première dérivée de <p (z) est 



<p'(z) _ S.éaz"-' 

 ?( z ) " S.bz" 



et que, partant, pour z= i, cette dérivée se réduit à S.éoc, c'est-à-dire à 

 la moyenne des quantités a. On en conclut que dans le produit P, la pre- 

 mière dérivée logarithmique est de même la moyenne S . Bc; et comme cette 

 première dérivée est nécessairement la somme des premières dérivées de 

 chacun des facteurs, il en ressort immédiatement que la valeur moyenne 

 des sommes a des quantités a, ê, 7, etc., est la somme des valeurs moyennes 

 de ces quantités, c'est-à-dire qu'on a 



S.Ba = S.6a + S.£ê + S.by + .... 



Si respectivement a e = S, = y,- = etc . , il vient 



S .Ba = nS . ba.. 



Si «j = h l s,-, §( = h % Si, y t — h t s ( , etc., on obtient alors 

 S.By= {h, + A 2 + h, + ...)S.be. 



