et pour le cas de 

 comme alors 



( 3r 7 ) 



si jx = S. be, on obtient 



S.B (a- ^f = (h* + h\ + hl-^...) S.b(t - p£. 



Par conséquent, on voit que la moyenne des carrés des différences entre la 

 moyenne arithmétique et les diverses quantités dont elle se compose, se 

 conserve de la même manière que la moyenne. Dans une suite d'événe- 

 ments, elle est un multiple de la moyenne des carrés des écarts des évé- 

 nements simples. 



» D'après ces résultats, comme Laplace a enseigné à se débarrasser de la 

 moyenne arithmétique, on peut admettre que les quantités a, ê, y, etc., 

 soient déjà diminuées de leur moyenne dans les polynômes f(z), <b{z), 

 X(z), ^c., et alors <p' (z), <J/ (z), /'(z), etc., se réduiront à zéro pour z=\. 

 Les dérivées logarithmiques se réduiront donc à 



f{x), fit), 9"(i)-3[^(, )]',.... 

 Rien n'est plus facile que d'en conclure que 



+ s.b(è- N y 



+ S.*( 7 -^)»+..., 



ou que la moyenne des cubes des écarts des événements composés est 

 encore la somme des moyennes des cubes des écarts des événements simples. 

 Mais dès la puissance 4* il n'en est plus ainsi, et l'on trouve, par des calculs 

 analogues aux précédents, 



S -B(a-/M 4 -3[S.B(a-fx.)7 

 = S.b( a - l x a y-3[S.b( a -i J . a )*y 

 + S.ft(e-p,)*-3[S.ft(6- f i )»]»+.... 



Il en résulte que la moyenne des 4 e * puissances ne se conserve pas. En 

 effet, pour avoir cette moyenne S.B (<r — /*,)*, il faudra ajouter aux deux 

 membres de cette relation 3 [S.B (a — j*,) 2 ] 2 , qui sera évidemment de 

 l'ordre de n* pour a = S = y= etc., et de l'ordre de {h\ -+- h\ ■+- h\ -t- etc.) a , 



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