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 l'équation (2) et, par conséquent, l'équation (1), devient une relation entre 

 les deux rapports anharmoniques r et r', telle que 



arr' '-+- §r -h yr'-t- <? = o, 



a, ë, y, â étant quatre nouveaux coefficients constants, dont un est arbi- 

 traire. 



» Les six axes A, B, C, A', B', C sont tous pris arbitrairement, et sont 

 indépendants les uns des autres. Maintenant, prenons pour les trois B, C, D, 

 les trois droites ab, ac, ad, et pour les trois B', C, D', les droites a'b', a'c', 

 a' d' ; rsera le rapport anharraonique fait par la tangente T avec les trois 

 droites ab, ac, ad, savoir : 



sin Tab sin dab 



r = 



sin Tac ' sin dac 



Et semblablement de r'. Or, si d'un point m de la conique à laquelle T est 

 tangente, on mène des droites aux quatre points a, b, c, d, le rapport 



, , . sin amb sin dmb ,. 



anharmonique de ces quatre droites — : — — } — sera constant, quelle 



n ^ sin amc sin dmc 7 l 



que soit la position du point m sur la courbe; et si ce point devient infini- 

 ment voisin du point a, et, par conséquent, sur la tangente T, ce rapport 



, . sin Toi sin dab , . , ,. , , . , 



devient -. — -rjr '• ~ — JT '•> c est-a-dire que le rapport anharmonique des quatre 



droites menées d'un point de la conique aux quatre points a, b, c, d, est égal 

 à celui des quatre droites ab, ac, ad et T que nous avons représenté par r. 



» Il en est de même à l'égard des quatre droites menées d'un point de la 

 conique correspondante, aux quatre points a', b', c', d' ; le théorème se 

 trouve donc démontré. 



» On voit, par cette démonstration même, que, réciproquement, quand 

 les deux faisceaux de quatre droites menées d'un même point m à deux sys- 

 tèmes de quatre points fixes a, b, c, d, et a', b', c', d' ont entre leurs rapports 

 anharmoniques r, r' une relation constante telle que 



a . rr 1 -f- ê . r -+- 7 . r' -h & = o, 



les deux coniques menées par ce point et passant, l'une par les quatre points 

 a, b, c, d, et l'autre par les quatre a', b', c', d', se correspondent anharmo- 

 niquement, dans le sens du théorème général ; c'est-à-dire que pour quatre 

 positions du point m, les quatre coniques passant ensemble par a, b, c, d, 

 ont le même rapport anharmonique que les quatre menées par les points 

 a', b', c', d'. 



