» ( 3 7 5 ) 



» D'après cela, le théorème général sur le lieu des intersections des 

 coniques correspondantes de deux faisceaux, prend cet énoncé différent : 



» Second théorème général. Étant donnés deux systèmes de quatre 

 points a, b, c, d, et a', b', c', d' , le lieu d'un point tel, que le rapport anhar- 

 monique r des droites menées de ce point aux quatre a, b, c, d } et le rapport 

 anhannonique r ' des droites menées du même point aux quatre a', b', c', d', 

 aient entre eux la relation constante 



a.rr' -+ ër + yr'+<? = o 



est une courbe du quatrième ordre qui passe par les huit points a. b, c,,d, 

 a'_, b' , c' , d'. 



» Ce théorème important se peut aussi démontrer directement, d'une 

 manière très-simple. 



» Démonstration directe. Désignons par (m,ab) la distance du point m 

 à la droite ab, et ainsi des autres distances semblables. On a, en comparant 

 deux expressions de l'aire du triangle amb, 



ma . mb . sin amb r= ab .(m, ab), 

 d'où 



ab .(m, ab) 



sin amb = 



ma .mb 



Et semblablement pour sin amc, etc. Par conséquent, le rapport anhar- 

 monique des quatre droites ma, mb, me, md a pour expression 



_ smamb # sin dmb f(m,ab) t sin(/n, db)~\ ab.de 

 sin amc ' sin dmc ~ \_{m, ac) ' sin(m, dc)\ ac.db 



Représentons par {ab) le polynôme en x, y qui, égalé à zéro, forme l'équa- 

 tion de la droite ab, et ainsi des autres; il vient 



\{ab).(dby\ ab^dc 



~ l( ac ) ' ( dc )J ac - db '' 



les coordonnées, dans les polynômes (ai), (ac), etc., étant celles du point m. 

 On a pareillement 



,.' - p^*') • yin\ y a ' b '- d ' c ' 



~ l(a'c') • {d'c')\ * a'c'.d'b'' 



17 équation en r et r' devient 



(ab).(cd) (a'b').(c'd') (ab).(cd) (a> b').(c' d>) , ' . ^ . 



"' {ac).(bd) ' (a'c').(b'd') ^ °' (ac).(bd) **" '* (a' c').{b[d') ~*~. ° { ~~ 



Chassant les dénominateurs, on voit que cette équation est du quatrième 



