( 3 77 ) 

 premier faisceau peuvent être pris arbitrairement, ainsi que l'un des quatre 

 points autour desquels tournent les quatre rayons du second faisceau. 

 » Ce théorème résulte évidemment du précédent. 



Courbes du quatrième ordre à points doubles. 



» Si l'un des quatre points a, b, c, d coïncide avec un des points a', b', c ' , 

 d' , la courbe aura un point double, en ce point. 



» En effet, soitrt ce point commun aux deux faisceaux de coniques. Les 

 tangentes à ces courbes, menées en ce point, forment deux faisceaux homo- 

 graphiques ; et ces deux faisceaux ont deux rayons doubles (*). L'un de 

 ces rayons est une tangente commune à deux coniques correspondantes dans 

 les deux faisceaux, coniques dont les points d'intersection sont sur la courbe 

 du quatrième ordre; a est un de ces points d'intersection, et le point infi- 

 niment voisin sur la tangente commune aux deux courbes, en est un 

 second ; de sorte que cette droite est tangente en a à la courbe du qua- 

 trième ordre. Il en est de même du second rayon double. Cette courbe a 

 donc deux tangentes au même point a, qui, par conséquent, est un point 

 double. c- Q. F. D. 



» Si les deux rayons doubles des deux faisceaux sont imaginaires, le 

 point a sera un point conjugue', ou isolé. Et si les deux rayons coïncident, 

 ce point sera un point de rebrous sèment ; et la tangente en ce point sera le 

 rayon double unique. 



» Si deux des points a\ b' , c', d' coïncident avec deux points du pre- 

 mier système a, b, c, d, la courbe aura deux points doubles. 



» Et enfin, si trois des points a', b', c\ d' coïncident avec trois points 

 du premier système a, b, c, d, la courbe aura trois points doubles. 

 » De là résulte la solution de cette question : 



» Construire une courbe du quatrième ordre ayant trois points doubles 

 donnés de position et passant par cinq autres points . Soient a, b, c les trois 

 points doubles, et d, d', e,f, g les cinq autres points. Concevons un fais- 

 ceau de coniques passant par les trois points doubles a, b, c et le point d, 

 et un second faisceau passant par les trois mêmes points a, £, c et le point 

 d'. Par chacun des trois points e,f, g on pourra mener deux coniques 

 appartenant aux deux faisceaux, respectivement. On les regardera comme 

 coniques correspondantes, et l'on pourra former une infinité d'autres sys- 

 tèmes de deux coniques correspondantes. Le lieu du point d'intersection de 

 ces coniques, deux à deux, sera la courbe du quatrième ordre demandée. 



(*) Traité de Géométrie supérieure , page 122. 



C. K., i853, a™« Semejfre. (T. XXXVII, N° 10.) 5a 



