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 » Appliquons ici l'équation (a) trouvée ci-dessus 



sin(B', T") -, sin(B', T') ,. 



ar - siiTTcvr] + ê - r+ v.sriërr) + * = °' 



ou, en supposant que les deux axes fixes B', C soient rectangulaires,- 

 <x.r.tang(B', T')+ ê. r + 7 . tang (B', T') + d = o. 



r peut représenter, comme nous l'avons vu ci-dessus, le rapport anharmo- 

 nique des quatre droites menées d'un point de la courbe aux quatre points 

 fixes a, b, c, ci; et si l'on prend pour l'axe fixe B' la corde a' b' commune 

 à tous les cercles, l'angle (B', T') sera égal à l'angle sous-tendu par la corde 

 a' b' dans le cercle qui passe par le point de la courbe. 



» Il en résulte donc ce théorème : 



» Théokème. Etant donnés quatre points fixes a, b, c, d et deux autres 

 points fixes d , b' , le lieu d'un point tel, que le rapport anharmonique r des 

 droites menées de ce point aux quatre a, b, c, d, et la tangente de l'an- 

 gle 6' sous lequel on voit de ce point les deux a! , b', aient entre eux la rela- 

 tion constante 



a. r. tango' -+- î .r + -y.tangô'-r- â = o, 



est une courbe du quatrième ordre qui a deux points imaginaires à l'in- 

 fini sur un cercle. 



» Réciproquement : Quand une courbe du quatrième ordre a deux points 

 imaginaires à l'infini sur un cercle, on peut prendre sur la courbe, d'une 

 infinité de manières, un système de quatre points a, b, c, d et deux points 

 d , b', tels, que le rapport anharmonique r des droites méfiées de chaque 

 point de la courbe aux quatre points a, b, c, d, et la tangente de l'an- 

 gle 0' formé par les droites menées du même point aux deux a', b', aient 

 entre eux une relation constante de la forme 



a.r. tang Q' -+- S . r •+■ 7 . tang B' -+- â = o. 



» En effet, prenant arbitrairement les deux points a', b', on mènera par 

 ces points un cercle quelconque qui rencontrera la courbe proposée en 

 quatre autres points; et par ceux-ci on fera passer une conique qui ren- 



\ , C, est déterminée par la formule 



^^]=cos(A,C) ± v/^.si„(A )C ) 

 Voir Traité de Géométrie supérieure ; art. 65 1 et 181. 



