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 » Posons maintenant 



d 7 z . dz Ci d't dt\ 



d'z . rfÇ d 2 z . . dz dH 



v =didp = cosi rdï> w = ^ + ' tar w^ = «>sir^; 



le carré de l'élément linéaire ds de la surface sera égal à 



ds % = {u* + v 2 )dx 2 -h 2v(u-\- w)dxdy -+- (v* ■+■ w a )dy 2 

 = (udx + v dy) 2 -+- (vdx + wdy) 2 , 



et de là on déduira aisément l'équation des lignes géodésiques, et en général 

 la solution de toutes les questions relatives aux courbures géodésiques. 

 » L'équation des lignes de courbure sera en x et y, 



(dy\ 2 « — w dy 

 dx) v dx ' 



les rayons de courbure principaux seront donnés par l'équation 

 (2) p 2 H- cos iy{u + w)p -t- cos 2 iy (uw — v 2 ) = o. 



On pourra encore obtenir, et les résultats sont fort simples, l'équation de 

 l'indicatrice, la valeur du rayon de courbure d'une section normale quel- 

 conque, l'équation des lignes asymptotiques, etc., etc. 



» Appliquons les formules précédentes aux problèmes traités par Monge 

 dans Y Analyse appliquée. 



» Considérons d'abord les surfaces dont tous les points sont des ombilics. 

 Exprimant l'égalité des racines de l'équation (2), on a 



(m — w) 2 + 4 v* = o ou v = o, u — w; 

 d'où 



z = a cos x -+- b sin x -+- c cos iy -+- di sin iy, 



a, b, c, d étant des constantes; ce qui ne donne que des sphères. Si, au lien 

 de décomposer en deux l'équation 



, (u — w) 2 -f- 4f 2 = o, 



on l'intègre immédiatement, comme fait Monge , on obtient les surfaces 

 imaginaires 



z = e* F ( x -+- iy) -f- e~ x FJx — iy). 



Nous avons étudié ces surfaces, qui présentent quelque intérêt au point de 



