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l'ordre parfait qu'il a observé dans le développement de ses nombreuses 

 propositions, forme le caractère de sa méthode, dont on perdrait le fil, et 

 qu'on ne connaîtrait pas, si l'on s'écartait un instant de la voie qu'il a suivie 

 invariablement, et où se décèlent le génie et la pénétration du grand géomètre. 



» Il nous faut d'abord rappeler quelques définitions propres à ce X e livre; 

 en premier lieu, celle du mot irrationnel qui a un sens différent de celui 

 que nous lui attribuons maintenant; puis diverses expressions tombées 

 aujourd'hui en désuétude ou même généralement inconnues. 



« Euclide suppose qu'on a pris une première droite, à laquelle toutes 

 les autres sont comparées par voie de rapport ou de commune mesure; et 

 cette droite est dite rationnelle. (Définition cinquième.) Ensuite, il regarde 

 comme rationnelles toutes droites commensurables à celle-là, soit en lon- 

 gueur, soit en puissance, c'est-à-dirè toutes droites qui ont une commune 

 mesure avec celle-là, ou dont les carrés ont eux-mêmes une commune 

 mesure avec le carré de cette première. (Définition sixième.) Cette défini- 

 tion des lignes rationnelles est beaucoup plus étendue que la définition 

 actuelle. Par exemple, la diagonale d'un carré dont le côté est pris pour 

 rationnelle est elle-même rationnelle, dans le sens d'Euclide, parce que son 

 carré est commensurable avec celui du côté, tandis que dans l'acception 

 moderne, cette diagonale est essentiellement irrationnelle. 



» Euclide a en sans doute quelque raison pour rattacher ainsi, par une 

 acception très-étendue du mot rationnel, les deux cas de la commensurabi- 

 lité en longueur, et de la commensurabilité en puissance, qui paraissent 

 naturellement si différents, et auxquels, néanmoins, il attribue ainsi le 

 même degré d'importance. Malheureusement il ne donne, à ce sujet, aucune 

 explication. On ne trouve non plus aucune lumière, sur ce point, dans la 

 partie du commentaire grec analysée par M. Woepcke. Qu'on nous permette 

 ici un rapprochement, quelque étrange et inattendu qu'il puisse paraître, 

 entre une théorie physico-mathématique moderne et cette doctrine d'Eu- 

 clide. M. Lamé, dans ses leçons sur l'élasticité à la Faculté des Sciences (i), 

 a eu à considérer avec le même degré d'importance, dans le classement des 

 phénomènes vibratoires d'une membrane rectangulaire, les deux cas de la 

 commensurabilité et de Y incommensurabilité en puissance des deux côtés de 

 la membrane. Or on sait que la théorie des tons musicaux était fort cultivée 

 dans l'école de Pythagore, comme au temps d'Archytas et d'Euclide, et 



(i) Leçons sur la théorie mathématique de l'élasticité des corps solides ; Paris, i852. Voir 

 pages 122 et i3o. 



