(55 7 ) 



qu'elle se rattachait intimement à Y arithmétique spéculative, science dis- 

 tincte de l'arithmétique pratique, et qui formait la théorie des nombres de 

 l'époque. Paraîtrait-il hors de toute probabilité qu'Euclide eût puisé dans 

 des considérations tenant à cette théorie musicale tout arithmétique, soit 

 la cause de l'égale importance qu'il donne aux deux cas de la commensura- 

 bilité en longueur et de la commensurahilité en puissance, soit celle, direc- 

 tement, de sa définition étendue de la rationnalité. 



» Mais revenons à notre sujet, aux définitions d'Euclide. 

 » Euclide appelle irrationnelle toute ligne incommensurable en puis- 

 sance à la ligne prise pour terme de comparaison, c'est-à-dire toute ligne 

 dont le carré n'a pas de commune mesure avec le carré de celle-ci (défini- 

 tion 7). 



» Parmi les irrationnelles , il en distingue une formée par voie de propor- 

 tion, à laquelle il donne le nom de médiale; c'est une ligne dont le carré est 

 égal au rectangle de deux lignes rationnelles commensurables en puissance 

 seulement (proposition 22). L'expression de cette ligne est de la forme 

 x = \ja\Jb, puisqu'on aura x 2 = a.\fb; a et \fb représentant deux lignes 

 commensurables en puissance seulement. 



» Euclide applique aux surfaces ces mêmes 'définitions. Il appelle ra- 

 tionnel le carré de la ligne prise pour terme de comparaison (défini- 

 tion 8 ) , sïxrjaces rationnelles toutes les surfaces commensurables à 

 ce carré (définition 9), et irrationnelles, toutes les surfaces incom- 

 mensurables à ce même carré (définition 10). Parmi les surfaces irra- 

 tionnelles, il en distingue une qu'il appelle espace tnédial : c'est le 

 rectangle construit sur deux lignes médiales, commensurables en longueur 

 (proposition 25), lequel a pour expression a 2 n' \in ou simplement sjn. 

 Caries deux médiales, commensurables en longueur, seront a \jn et n'. a\jn ; 



et leur produit, a 2 n'\Jn. 



» Après la médiale, Euclide considère les irrationnelles formées de deux 

 lignes, par voie d'addition ou de soustraction, lesquelles sont au nombre 

 de douze, dont six formées par addition et six par soustraction. Ces douze 

 irrationnelles et la médiale sont l'objet du X e livre des Eléments. L'auteur y 

 donne leur construction et leurs propriétés. 



» Ce X e livre contient cent dix-sept propositions, dont trente-six peuvent, 

 être regardées comme des préliminaires nécessaires pour entreprendre la 

 théorie des douze irrationnelles par addition et soustraction. Voici le sujet 

 de ces trente-six propositions : Les vingt-deux premières sont relatives à la 



