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commensurabilité et à l'incommensur.abilité des droites en longueur, et des 

 grandeurs en général. Les propositions 23 à 27 se rapportent aux lignes ra- 

 tionnelles et aux médiales; ou y traite de leur commensurabilité en lon- 

 gueur et en puissance. Dans les propositions 28 à 33, on construit deux ra- 

 tionnelles ou deux médiales, commensurables en puissance seulement, et 

 dont le rectangle satisfait à quelque condition. Enfin, dans les trois pro- 

 positions suivantes (34, 35 et 36), on construit deux droites commensu- 

 rables en puissance, dont la somme des carrés et le rectangle forment 

 des surfaces rationnelles on médiales; puis commence, à la proposition 3^, 

 la théorie de douze irrationnelles. 



» Ces irrationnelles sont formées, avons-nous dit, par addition ou sous- 

 traction de deux lignes. On conçoit que ces deux lignes ne peuvent être 

 commensurables en longueur, car leur somme ou leur différence donnerait 

 une simple ligne monôme de même nature qu'elles-mêmes. Il faut donc pren- 

 dre deux lignes incommensurables en longueur. Euclide distingue, à l'égard 

 des carrés ou puissances de ces lignes, le cas de commensurabilité et celui 

 d'incommensurabilité. 



» Dans le premier cas, il prend deux lignes rationnelles ou médiales. CeS 

 lignes devant être commensurables en puissance, on reconnaît immédiate- 

 ment qu'elles sont nécessairement toutes deux rationnelles, ou toutes deux 

 médiales, et que leur rectangle est rationnel ou médial. 



» De là dérivent trois irrationnelles, formées: 



» La première, de deux lignes rationnelles dont le rectangle est médial; 



» La deuxième, de deux lignes médiales ayant un rectangle rationnel; 



« Et, la troisième, de deux lignes médiales ayant un rectangle mé- 

 dial. 



» Dans le deuxième cas, celui où les deux lignes sont incommensurables 

 en puissance, Euclide ne leur assigne point, comme dans le cas de la com- 

 mensurabilité, une qualité déterminée et restreinte, comme d'être néces- 

 sairement rationnelles ou médiales; il a recours à d'autres conditions, les- 

 quelles concernentle rectangle des deux lignes et la somme de leurs carrés; 

 il demande que chacune de ces surfaces soit rationnelle ou médiale. 



» Ces conditions donnent lieu aux trois combinaisons : 



» i°. Somme rationnelle et rectangle médial ; 



» 2 . Somme médiale et rectangle rationnel ; 



» 3°. Somme médiale et rectangle médial. 



» Les couples de lignes déterminées dans ces trois systèmes forment trois 

 no'uvelles irrationnelles. 



