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» On voit, d'après ces considérations, que les six irrationnelles, soit par 

 addition, soit par soustraction, sont rangées en deux groupes qui ont un 

 caractère différent. 



» Les trois premières sont formées de deux lignes rationnelles ou mé- 

 diates, commensurables en puissance ; et il n'y a point d'autre condition 

 pour les déterminer : les trois autres sont formées de deux lignes incom- 

 mensurables en puissance, et elles sont déterminées par deux conditions 

 concernant la somme de leurs carrés et leur rectangle. 



» Euclide construit les six lignes par addition, et démontre leur irration- 

 nalité dans six propositions (37 — l\i); puis il démontre dans les six pro- 

 positions suivantes (43 — 48) que chacune de ces lignes ne peut être divi- 

 sée qu'en un seul point, de manière que les deux parties soient deux lignes 

 satisfaisant aux conditions de construction de l'irrationnelle; fort belle 

 proposition pour l'époque, puisqu'elle répond, à l'égard, par exemple, de 

 la première des six irrationnelles, à cette propriété des quantités radicales, 

 savoir, que l'on ne peut avoir \a -+- \J b = \Ja' -f- \Jb' . 



». Parlons ici de la terminologie adoptée par Euclide. 



» En général, quand une ligne est formée par l'addition de deux lignes 

 rationnelles , commensurables en puissance seulement, Euclide appelle celles- 

 ci noms, et la ligne égale à leur somme, ligne de deux noms. Des traducteurs 

 ont dit simplement ligne binôme ou binomiale : et telle paraît être l'origine, 

 chez les Modernes, de l'expression binôme. 



» La première des six irrationnelles par addition est donc appelée ligne 

 de deux noms. Les deux autres irrationnelles du premier groupe sont dites 

 première de deux médiales et seconde de deux médiates . Les trois du second 

 groupe s'appellent la majeure ; celle qui peut une rationnelle et une médiale, 

 et celle qui peut deux médiales. Nous parlerons plus loin des six irration- 

 nelles par soustraction. 



» Les lignes de deux noms jouent un rôle principal dans cette théorie, et 

 Euclide en distingue six espèces. 



» Ces lignes étant formées par addition de deux lignes rationnelles, telles 

 que n et \Jn, il semblerait, au premier abord, qu'il ne dût y avoir que deux 

 lignes rationnelles de ce genre, l'une de la forme n •+- <Jr?, et l'autre 

 yTz -t- \/n'. Cependant Euclide en distingue six espèces différentes, qu'il 

 appelle première ligne de deux noms, deuxième ligne de deux noms, etc. 



» La distinction de ces six irrationnelles de deux noms dérive de la considé- 

 ration suivante. Si l'on forme le rapport de la racine carrée de la différence des 



