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carrés des deux termes du binôme irrationnel , au plus grand des deux, ce rap- 

 port est nécessairement de la forme n ou \in ; et ce sont ces deux cas qu'Euclide 

 considère. Ainsi, soient A et B les deux termes ou noms d'une ligne de deux 



noms, le rapport dont il s'agit sera — ■> en supposant A > B, et ce rap- 

 port sera de la forme n ou \jn. Or A devant toujours être plus grand que B, 



et ces deux lignes étant elles-mêmes de la forme n ou y/n, on voit que le 

 binôme A +B, aura, dans chacun des deux cas relatifs au rapport en ques- 

 tion, les trois formes suivantes: 



a + \fb, \ja -+- b, y/a ■+■ yjb. 



De là dérivent les six espèces de lignes de deux noms. 



» Après avoir fait cette distinction dans six définitions, Euclide construit 

 les six lignes de deux noms (propositions 4°.-54) et démontre une propriété 

 importante des six irrationnelles formant les deux groupes définis ci-dessus, 

 savoir, que a la moyenne proportionnelle entre une ligne rationnelle et une 

 » droite de deux noms est une des six irrationnelles (propositions 55-6o) ; » 

 et réciproquement, « que chacune des six irrationnelles est toujours la 

 » moyenne proportionnelle entre une rationnelle et une ligne de deux noms 

 » (propositions 61-66); » en d'autres termes, et en nous rapprochant du 

 style moderne, chacune des six irrationnelles est la racine carrée d'un bi- 

 nôme dont chacun des deux termes est une surface rationnelle ou médiale, 



c'est-à-dire de la forme n ou y/n. 



» Cette belle propriété jette un grand jour sur toute la théorie des irra- 

 tionnelles du X e livre d'Euclide; car cette théorie se trouve renfermée dans 

 l'expression de la racine carrée du binôme A -1- B que voici : 



» Les deux termes du premier membre sont les deux lignes dont la somme 

 torme une irrationnelle ; et les six irrationnelles distinguées par Euclide répon- 

 dent aux six cas que présente le rapport - — - — > selon qu'il est de la forme 



n ou y/n, comme nous l'avons dit. 



» Euclide démontre qu'une droite commensurable en longueur avec une 

 des six irrationnelles est elle-même une irrationnelle de même espèce (pro- 

 positions 67-71). Puis, que la racine carrée du binôme A + B dans lequel 



