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A et B sont deux surfaces, l'une rationnelle et l'autre médiale, ou toutes 

 deux médiates , est une des six lignes irrationnelles (propositions 72-73}. 

 En analyse, cette proposition ne diffère pas de celles qui expriment que la 

 moyenne proportionnelle entre une rationnelle et une ligne de deux noms 

 est une des six irrationnelles (propositions 55 - 60) ; mais en géométrie, et 

 dans l'état de séparation absolue où se trouvaient ces deux branches des 

 mathématiques, Euclide devait ainsi marcher pas à pas, sans s'écarter de la 

 rigueur qui fait le caractère de la science grecque; et l'on reconnaît qu'il n'y 

 a rien d'inutile dans les trente-sept propositions (37-73) qu'il a consa- 

 crées à la construction et à la démonstration des propriétés de ses six irra- 

 tionnelles par addition. , , 



» Il suit la même marche et démontre les mêmes propriétés pour les six 

 irrationnelles par soustraction (propositions 74-1 1 1)- 



» Celles-ci se rangent en deux groupes, comme les premières. Les trois 

 irrationnelles du premier groupe sont formées de deux rationnelles ou de 

 deux médiales, commensurables en puissance seulement; et les trois du 

 second groupe, de deux lignes incommensurables en puissance, déterminées 

 par deux conditions, savoir : que la somme de leurs carrés et leur rectangle 

 soient deux surfaces rationnelles ou médiales. 



» La première irrationnelle du premier groupe, formée de deux ration- 

 nelles commensurables en puissance seulement, qui correspond à la ligne 

 de deux noms, dans les irrationnelles par addition, s'appelle apotome ou 

 résidu. Euclide distingue six apotomes qu'il dénommepremier, deuxième, etc. , 

 • par les mêmes considérations qui l'ont conduit à distinguer six lignes de 

 deux noms. » , 



» Les six irrationnelles par soustraction sont, en employant ici le style 

 moderne, les racines carrées des six apotomes (propositions 98-103). 



» Euclide complète cette théorie en démontrant qu'un apotome n'est pas 

 une ligne de deux noms (proposition 1 ia). Et de là il conclut que ses douze 

 irrationnelles binômes, avec la médiale, forment treize lignes d'espèces 

 différentes. Puis, on trouve trois propositions (propositions ii3-ii5), que . 

 nous exprimons par l'identité 



(v/â + v/Ê)(v'â- Jb) = {a-b). 



» Dans une autre, Euclide montre qu'il existe des irrationnelles d'un 

 ordre supérieur à la médiale, en nombre infini ; ce sont les irrationnelles 

 telles que y/ a (proposition 116). 



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