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» commensurable en puissance seulement avec elle, le reste est encore un 

 » apotome. Il en est de même pour la soustraction des autres lignes. » 



» Ainsi l'auteur ne forme pas d'irrationnelles polynômes où entre le signe 

 moins. On peut penser que cette question avait offert des difficultés qui 

 auront arrêté Apollonius et les autres géomètres après lui. 



» Nous avons dit que les irrationnelles considérées par Euclide s'appe- 

 laient irrationnelles ordonnées, et celles d'Apollonius irrationnelles inordon- 

 nées. 



« On lit dans le commentaire grec, que les irrationnelles ordonnées, les- 

 » quelles forment le sujet limité d'une science et se réduisent aux treize 

 » d'Euclide, sont aux inordonnées, comme les rationnelles sont aux irra- 

 » tionnelles ordonnées. Que les inordonnées sont formées des ordonnées ati 

 » moyen de la proportion, de l'addition et delà soustraction. » 



» Ce peu de mots ne peut donner une idée de ce qu'il faut entendre par 

 irrationnelles inordonnées. Mais on trouve dans une préface ou introduction 

 aux Données d'Euclide, par Marinus, le disciple et le successeur de Proclus 

 dans l'école platonicienne d'Athènes, au v e siècle, une explication de ces 

 mots ordonné et inordonné. On y lit : 



» Ordonné, ce qui est complètement déterminé et ne peut se faire de di- * 

 verses façons, comme une droite menée par deux points. Inordonné, ce qui 

 n'est pas déterminé complètement et peut se faire de diverses façons, comme 

 un angle passant par deux points. 



» Comment faut-il appliquer ces définitions précises aux irrationnelles 

 binômes d'Euclide et aux irrationnelles trinômes d'Apollonius? 



» On voit bien que la première, celle de Xordonné, convient aux irration- 

 nelles binômes, en ce qu'elle peut s'appliquer à cette belle proposition 

 d'Euclide, savoir, qu'une irrationnelle donnée ne peut être divisée qu'en un 

 seul point de manière que ses deux segments forment deux lignes satisfai- 

 sant aux conditions de construction de l'irrationnelle; ce qui répond, 

 comme nous l'avons dit, à l'égard, par exemple, de la ligne de deux noms, à 

 cette proposition arithmétique, que l'on ne peut avoir \la-\-s[b = Ja'-\- \[W. 



» On peut donc dire, conformément à la définition de Marinus, que les 

 irrationnelles d'Euclide sont ordonnées. Les Anciens auraient-ils pensé que les 

 irrationnelles polynômes n'offraient pas le même caractère, et, par exemple, 

 qu'une ligne de trois noms \Ja-+- \fb -+- \f c , pût être composée de trois autres 

 rationnelles différentes, et être égale à \ja' -+- \Jb' + \fc''. -Ce qui ne serait 

 pas exact. 



