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physique mathématique. — Rapport concernant un Mémoire de 

 M. de Saint- Venant sur la torsion des prismes. 



(Commissaires, MM. Cauchy, Poncelet, Piobert, Lamé rapporteur.) 



« L'Académie nous a chargés, MM. Cauchy, Poucelet, Piobert et moi, 

 d'examiner un Mémoire sur la torsion des prismes, présenté par M. de Saint- 

 Venant. Ce travail appartient à la théorie mathématique de l'équilibre d'é- 

 lasticité des corps solides. On sait que cette théorie résout facilement, et 

 par de simples différentiations, le problème qui consiste à déterminer les 

 forces élastiques d'un milieu solide, lorsque l'on connaît la loi des dépla- 

 cements. Mais le problème inverse, celui qui consiste à déterminer les 

 déplacements lorsque l'on se donne les efforts exercés sur le solide, loin 

 d'être résolu d'une manière générale, ne l'est que dans des cas exceptionnels 

 ou très-particuliers. La solution générale est subordonnée aux progrès de 

 l'intégration des équations aux différences partielles, et sa découverte peut 

 encore être très-éloignée. 



» Pour remédier en partie aux lacunes que ce long retard laisse sub- 

 sister dans les sciences d'application, M. de Saint-Venant a eu l'heureuse 

 idée de se servir d'un procédé nouveau, qu'il qualifie du nom de méthode- 

 mixte. Par ce procédé, on se donne une partie des déplacements et une 

 partie des forces extérieures, puis on cherche, en s'appuyant sur la théorie 

 générale, quels doivent être les autres déplacements et les autres forces, 

 afin que le corps soit en équilibre d'élasticité ; pour y parvenir, il faut dif- 

 férentier, et il faut intégrer. Or la part que les efforts extérieurs ont dans les 

 données mesure, en quelque sorte, la part laissée à l'intégration dans le 

 problème qu'on se propose; on peut donc limiter la première, de telle 

 façon que la seconde ne dépasse pas la puissance actuelle de l'analyse 

 mathématique. 



» En un mot, la théorie de l'équilibre d'élasticité des milieux solides 

 comprend : des questions qui sont résolues complètement par la méthode 

 directe ou par des différentiations; d'autres dont les solutions sont incon- 

 nues pour la plupart, parce qu'elles exigent l'emploi de la méthode inverse 

 ou des intégrations; et M. de Saint- Venant introduit un autre genre de 

 questions qui peuvent se résoudre complètement, à l'aide d'une méthode 

 mixte, en partie directe et en partie inverse. 



» M. de Saint-Venant s'occupe d'abord de la flexion d'un prisme. Il se 

 donne seulement une partie des déplacements, en les supposant tels qu'il y 



