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en se fondant sur la théorie des polaires réciproques, dont les principes 

 ont été également établis par l'auteur précité. J'ai donné à ce sujet (.•), des 

 formules qui lient entre eux, d'une manière générale, le degré et la classe 

 d'une courbe algébrique avec le nombre de leurs points multiples, de re- 

 broussement, d'inflexion et celui de leurs tangentes doubles. Après bien 

 des tentatives, M. Jacobi est parvenu à déterminer directement et analyti- 

 quement le nombre de ces tangentes doubles, dans un Mémoire inséré, il y 

 a peu de temps, au Journal de M. Crelle ( tome XL, page 237). L'examen des 

 propriétés générales de ces mêmes tangentes doit être plus difficile encore ; 

 les mathématiciens qui s'en sont occupés le reconnaîtront sans doute. J'ai 

 essayé, il y a quelques années, de trouver, par voie de synthèse, les relations 

 mutuelles des 28 tangentes doubles de la courbe du quatrième degré, et je 

 suis arrivé à des résultats qui, en montrant le fond des difficultés inhé- 

 rentes à ce genre de questions, laissent, en même temps, apercevoir la route 

 à suivre pour les aborder et les traiter convenablement. Ces résultats repo- 

 sent sur des combinaisons de données, d'une complexité extraordinaire et 

 pour ainsi dire inextricable. Le petit nombre des essais publiés jusqu'à 

 ce jour par les mathématiciens sur le même sujet, sont peu d'accord avec 

 les résultats de mon travail. Les énoncés suivants ont pour but d'en donner 

 une simple idée, et de mettre les géomètres sur la voie de solutions ou dé- 

 monstrations, difficiles sans doute dans l'état présent de l'analyse algébrique, 

 mais que l'on déduira sans trop de peine des propositions fondamentales 

 rapportées dans mon Mémoire déjà cité et d'où j'ai déduit, comme première 

 conséquence, la théorie des polaires successives d'une courbe algébrique, 

 de degré donné, sur un plan, par rapport à un point ou à une courbe 

 pareille de ce plan. 



» § I. Qu'on imagine une courbe générale du quatrième degré C*. Ses 

 28 tangentes doubles £, arrangées par couples, donneront 378 couples. 

 Désignons chaque couple par tt, et le point d'intersection des deux tangentes 

 de ce couple par />; il y aura pareillement 378 points p. Soient m et n, m, 

 et n, les points de contact de la courbe avec les deux tangentes du couple 

 quelconques; joignons ces points par les deux paires de droites mrn, et«rc,, 

 mn, et mn, ; les deux droites de chaque paire se couperont réciproquement 

 en un point. Appelons q et r les deux poiuts ainsi obtenus; alors il y aura, 

 pour chaque couple n de tangentes, trois points /;, q, r. 



(1) Monatsberichl der Akad. der Wissenst'haften 7,11 Berlin (August. 1848), ou Journal 

 de M. Crelle, tome XL VII. 



