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trouve sur la courbe G' ; de là 12 nouveaux points A de cette courbe. 



» Les 84 droites appartenant à chaque groupe G, savoir les 6 couples tx 

 de tangentes [équivalents à 12 droites t), les 6 fois 4 droites mm ( , nn,, mn, 

 <tf nm„ /e$ 12 tangentes A, e£ e/7/î« Ze^ 12 fois 3 droites ab, ac ei bc, johê 

 toutes tangentes d'une certaine courbe de la troisième classe R 3 ( du sixième 

 degré) ; et les droites ab et ac, en particulier, ont les points h et c eux- 

 mêmes pour points de contact avec elle, de sorte que les 12b et les 1 2 c sont, 

 en même temps, les il\ points d intersection de cette courbe R 3 avec la courbe 

 donnée C* . Enfin, il y a en tout 63 courbes R 3 . 



» Les deux courbes G 3 et R 3 , appartenant à un même groupe, ont entre 

 elles des relations intimes, dont nous indiquerons quelques-unes. Désignons 

 par w chacun des 9 points d'inflexion de la courbe G 3 , et par W la tangente 

 en ce point; de chaque point w on peut mener trois tangentes Q, Q, , Q 2 à la 

 courbe, dont les points de contact q, q,, q a sont situés sur une droite R,. 

 Appelons p le point d'intersection de W avec R, ; désignons par R la tan- 

 gente à chacun des 9 points de rebroussement de la courbe R 3 , et par r 

 l'un de ces points de rebroussement; chaque tangente R coupe la courbe 

 aux trois points q, q', q", et les tangentes, en ces points, Q, Q', Q", se cou- 

 pent toutes les trois en un point w, ; appelons P la droite nv,. Les courbes 

 G 3 et R 3 ont entre elles ces relations : qu elles se touchent aux 9 points q, et 

 que, par suite, les g droites Q sont leurs tangentes communes en ces points q; 

 que les 9 couples de points w et w, , aussi bien que les 9 couples de droites R 

 et R, coïncident; enfin, que les 4 droites W, Q', Q, Q", aussi bien que les 

 4 points r, q,, q, q 2 sont harmoniques , et que, par suite, les 4 points p, q', 

 q, q", aussi bien que les 4 droites P, Q,, Q, Q.,, sont également harmoniques. 



» § V. Les 63 groupes G (§ II) peuvent être arrangés, trois par trois, en 

 systèmes S, d'après une loi telle que, pour deux groupes quelconques, il 

 en existe toujours un troisième, mais un seul, qui fasse un système S avec 

 les deux autres. D'après cela, le nombre de ces systèmes est 65 1, et 

 chaque groupe appartient à 3i de ces systèmes. 



» L'ensemble de ces systèmes, d'après une propriété constitutive, se di- 

 vise naturellement en deux sections : pour plus de clarté, nous désignerons 

 par S, et S 2 les systèmes appartenant à ces sections : la première section 

 contient 3i5 systèmes S,, la seconde 336 systèmes S 2 , et chaque groupe G 

 appartient à i5 systèmes S,, et à 16 systèmes S 2 . Nous n'insisterons pas ici 

 sur les caractères distinctifs de ces deux sections dont tous les systèmes 

 jouissent de la propriété commune suivante : 



» Si l'on choisit, dans chacun des trois groupes dun système S, un couple 



