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 utile dénoncer clairement que ma réponse, quoique publiée antérieure- 

 ment, avait été faite immédiatement après la |lecture de l'ensemble du 

 Mémoire. » 



calcul des PROBABILITÉS. — Sur les résultats moyens d'observations de 

 même nature, et sur les résultats les plus probables; par M. Augustin 

 Cauchy. 



« Supposons m inconnues liées, par n équations linéaires et approxi- 

 matives, à n quantités fournies par des observations de même nature, et 

 dont chacune comporte une certaine erreur e. On pourra, de ces équations 

 multipliées par certains facteurs X ( , X 2 ,..., X„, puis ajoutées entre elles, 

 déduire une équation finale propre à déterminer la première inconnue x, 

 et la valeur dex ainsi trouvée sera ce qu'on appelle un résultat moyen. Si 

 l'on connaît la loi de facilité de l'erreur g, et les limites entre lesquelles 

 cette erreur est certainement comprise, on pourra, des formules établies 

 dans le précédent Mémoire, déduire la probabilité P de la coïncidence de 

 l'erreur §, que comportera le résultat moyen, avec une quantité numérique- 

 ment inférieure à une certaine limite v. Cette probabilité varie avec les 

 facteurs X,, X 2 ,..., X„ que l'on peut choisir de manière à obtenir la plus 

 grande valeur possible de P ; et à cette plus grande valeur de P corres- 

 pondra la valeur la plus probable de .r, qui dépendra généralement de la 

 limite u, et de la fonction f(s) propre à représenter la loi de facilité de 

 l'erreur £. D'ailleurs, s venant à croître, la fonction f(e) peut décroître assez 

 rapidement pour qu'on puisse, sans erreur sensible, négliger les valeurs de 

 cette fonction correspondantes à des valeurs de s situées hors des limites 

 entre lesquelles l'erreur s est certainement comprise. C'est à ce cas spécial 

 que se rapporte le présent Mémoire; et, en supposant remplie la condition 

 qui vient d'être énoncée, j'établis les formules très-simples qui détermi- 

 nent la valeur la plus probable de l'inconnue x. 



» D'après ces formules, la valeur de x la plus probable ne deviendra 

 indépendante de la valeur assignée à la limite v que pour une forme spé- 

 ciale de la fonction f(s), qui renferme deux constantes arbitraires c, N. 

 De ces deux constantes, la seconde N est la seule qui serve, avec les 

 coefficients des inconnues dans les équations données, à déterminer les fac- 

 teurs X,, X 2 ,..., X„. Si on la suppose réduite au nombre 2, les résultats 

 moyens les plus probables seront précisément ceux que fournirait la mé- 

 thode des moindres carrés. Mais il en sera tout autrement si le nombre N 



