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donnés, et dont on se servirait ensuite pour construire la courbe. Cette 

 droite et la courbe représentent une ligne du quatrième ordre; et c'est en 

 appliquant à ce cas particulier une propriété générale concernant la des- 

 cription de ces lignes, que l'on construit la courbe du troisième ordre. 



» Cette propriété générale des courbes du quatrième ordre, où se trouve 

 une application nouvelle du rapport anharmonique dans la théorie des 

 courbes d'un ordre supérieur, est une extension naturelle du théorème qui 

 nous a servi pour la construction de la courbe du troisième ordre, dans la 

 première solution. Alors nous formions cette courbe au moyen d'une série 

 ou faisceau de coniques et d'un faisceau de lignes droites rencontrant, une 

 à une respectivement, les coniques. Pour les courbes du quatrième ordre, 

 ce sont deux faisceaux de coniques que nous considérerons. 



» Dans un tel faisceau, formé de coniques passant toutes par les quatre 

 mêmes points (réels ou imaginaires), nous appellerons, pour abréger, rap- 

 port anharmonique de quatre de ces courbes, le rapport anharmonique 

 des polaires d'un point (quelconque) relatives à ces courbes, ou bien le 

 rapport anharmonique des tangentes aux quatre courbes en un de leurs 

 points d'intersection. 



» Cela posé, voici l'énoncé de la propriété des courbes du quatrième 

 ordre dont nous avons à faire usage. 



Courbes du quatrième ordre. 



» Théorème général. Si l'on a deux faisceaux de coniques dont les 

 unes passent par quatre points a, b, c, d, et les autres par quatre points a', 

 h', & , d', et que ces courbes se correspondent, deux à deux, de manière 

 que le rapport anharmonique de quatre courbes du premier faisceau soit 

 égal à celui des quatre courbes correspondantes dans le deuxième faisceau, 

 le lieu de tous les points d'intersection des coniques correspondantes sera 

 une courbe de quatrième ordre passant par les huit points a, b, c, d, a', b', 

 c', d'. 



» On peut démontrer ce théorème par le simple raisonnement qui nous 

 a suffi pour la démonstration du théorème sur les courbes du troisième 

 ordre, c'est-à-dire en prouvant que le lieu des points d'intersection des coni- 

 ques correspondantes est une courbe qui ne peut être rencontrée par une 

 droite qu'en quatre points; démonstration qui nous était utile alors. Mais 

 nous allons suivre ici une autre marche qui conduit à l'équation de la 

 courbe décrite, et qui a l'avantage de s'appliquer d'elle-même au cas général 

 de deux faisceaux de courbes d'ordres quelconques. 



C. R.,ltf53, ^'Semestre. ( T. XXXVII, N° 7.) 38 



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