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» Démonstration. Soient S = o et S, = o les équations de deux coniques 

 du premier faisceau; celle d'une troisième conique sera de la forme 



(i) S + X.S ( = o, 



X étant un coefficient numérique. 



» Et pareillement, U = o et U, = o étant les équations de deux coniques 

 du deuxième faisceau, celle d'une troisième conique sera 



(2) U + X'.U, = o. 



» Nous allons prouver que pour que les deux coniques (1) et (2) se cor- 

 respondent suivant l'énoncé du théorème, il faut qu'on ait entre les coeffi- 

 cients X, X' une relation telle, que, à une valeur de l'un ne corresponde 

 qu'une valeur de l'autre, relation, par conséquent, de la forme 



a.X.X'+g.X+7.X' + <?=o, 



«, ê, 7, e?, étant des coefficients constants dont l'un est arbitraire, et dont 

 les trois autres dépendent du choix des trois coniques du deuxième faisceau 

 qui doivent correspondre à trois coniques désignées dans le premier 

 faisceau . 



» En effet, chaque valeur de X détermine une conique du premier fais- 

 ceau, et par conséquent détermine la tangente à cette courbe en un des 

 quatre points communs à toutes les coniques ; et réciproquement, une tan- 

 gente détermine nécessairement le coefficient X qui lui correspond. Il sen- 

 suit qu'on peut dire que les deux coefficients X, X' relatifs à deux coniques 

 qui se correspondent dans les deux séries de coniques, déterminent deux 

 tangentes qui se correspondent dans les deux faisceaux formés par les deux 

 séries de tangentes, faisceaux homographiques d'après la condition de l'éga- 

 lité des rapports anharmoniques. Or, ce qui caractérise l'homographie de 

 deux faisceaux, c'est qu'à un rayon de l'un ne peut correspondre qu'un 

 rayon de l'autre : il faut donc que les deux variables X, X' aient entre elles 

 une relation analytique telle, qu'à une valeur de X ne réponde qu'une valeur 

 de X', et vice versa, relation qui ne peut être que de la forme 



a . XX' + g . X + 7 . X' -t- & = o, 



ainsi que nous l'avions annoncé (1). 



(1) Ce mode de démonstration, qui comporte la rigueur désirable, et qui dispense de tout 

 calcul, pourra être employé dans beaucoup de questions : il forme , à cet égard , une des appli< 

 cations les plus utiles de la théorie du rapport anharmonique. 



