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 » Si, dans les deux faisceaux de coniques, les deux courbes S en U se cor- 

 respondent, on aura à la fois X = o etX' = o, d'où <? = o. Et si les deux S,, 



U, se correspondent aussi, on aura à la fois - = o et « = o, d'où a = o ; il 



en résulte que la relation entre X et X' se réduit à 



êX-f-yX' = o, ou X' = a.X, 



a étant une constante. 



» Donc : Les deux équations 



S-t-X.S, = o, et U -l- X.a.U, = o 



représentent deux coniques correspondantes , appartenant, respectivement , 

 à deux faisceaux tels, que quatre coniques quelconques de l'un ont leur 

 rapport anharmonique égal à celui des quatre coniques correspondantes 

 dans l'autre. • 



» D'après cela, pour avoir le lieu des points d'intersection des coniques 

 correspondantes, on éliminera X entre les deux équations. Le résultat est 



a.S.U, = U.S,. 



Les polynômes S, U, S,, U, étant du second degré et a étant un coefficient 

 constant, cette équation représente une courbe du quatrième ordre. On sa- 

 tisfait à l'équation en faisant à la fois S = o et U = o; ce qui prouve que la 

 courbe passe par les quatre points a, b, c, d. Et de même par les quatre 

 points a', b', c', d'. Le théorème est donc démontré. 



» Ce théorème, qui constitue une propriété générale des courbes du qua- 

 trième ordre, donne lieu à beaucoup de conséquences que nous traiterons 

 dans un autre moment. La courbe décrite se peut réduire, dans plusieurs 

 cas, à une courbe du troisième ordre. Nous ne considérerons ici que l'un de 

 ces cas, celui où pour chaque couple de coniques correspondantes dans les 

 deux faisceaux , deux des quatre points d'intersection des deux coniques sont 

 toujours sur une même droite, auquel cas les deux autres points sont sur 

 une courbe du troisième ordre. 



» Voici quelle est la propriété de ces courbes qui résulte de l'hypo- 

 thèse. 



Courbes du troisième ordre. 



» Théorème général. Quand plusieurs coniques A, A', A",... passent 

 par quatre mêmes points a, b, c, d, si l'on a une droite fixe L, et que par les 

 deux points ou cette droite rencontre chaque conique A on mène une conique 

 B passant par trois points fixes donnés a', b', c', ces deux courbes A et B se 



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