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couperont en deux autres points dont le lieu géométrique sera une courbe du 

 troisième ordre passant par les sept points a, b, c, d, a', b' , c' . 



» En effet, les coniques B menées par les trois points fixes a', b', c' pas- 

 sent toutes par un quatrième point commun d', parce qu'elles rencontrent la 

 droite L en des couples de points en involution, puisque ces points appar- 

 tiennent à la série de coniques À qui ont quatre points communs a, &, c, d 

 (réels ou imaginaires). En outre, quatre coniques B ont le même rapport 

 anharmonique que les quatre coniques correspondantes A, parce que ce 

 rapport est égal à celui des points milieux des segments que ces coniques 

 forment sur la droite L. Il suit de là, d'après le théorème sur la description 

 des courbes du quatrième ordre, que le lieu des points d'intersection des 

 coniques correspondantes dans les deux faisceaux, telles que A et B, est une 

 courbe du quatrième ordre qui passe par les sept points donnés a, b, c, d, 

 a', b', d et par le huitième d'. Mais la droite L est une branche de cette 

 ligne ; donc l'autre branche est une courbe du troisième ordre. C. Q. F. P. 



» Corollaire. Si la droite L est prise à l'infini, on en conclut ce théo- 

 rème : 



» Quand plusieurs coniques passent par quatre mêmes points {réels ou 

 imaginaires), si par trois points fixes, pris arbitrairement, on mène les 

 coniques homothétiques à ces premières ( lesquelles passeront toutes par un 

 quatrième point commun) , les points dans lesquels ces courbes rencontre- 

 ront celles auxquelles elles sont homothétiques, auront pour lieu géométrique 

 une courbe du troisième ordre. 



Construction de la courbe du troisième ordre déterminée par neuf points. 



» On voit sur-le-champ que le théorème général qui vient d'être démon- 

 tré peut servir pour mener par sept points donnés a, b, c, d, a', b', d une 

 courbe du troisième ordre dont les points se déterminent, deux à deux, par 

 l'intersection de deux coniques variables qui ont toujours deux points 

 communs connus à priori; construction qui se fait par la ligne droite et le 

 cercle, sans qu'on ait à décrire les deux coniques. Pour construire ainsi une 

 courbe du troisième ordre, on prend une droite fixe L; et, cette droite 

 étant arbitraire, on peut la choisir de manière à satisfaire à deux conditions 

 relatives à la courbe que l'on veut construire. Ici nous voulons que cette 

 courbe passe par deux nouveaux points donnés e, f . 



» Pour qu'elle passe par le point e, il suffit de mener par ce point deux 

 coniques, dont l'une E passe par les quatre points a, b, c, d, et l'autre E' 

 par les trois points a', b', c', et de prendre pour la droite L une des trois 



