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 parce qu'elles constituent des propriétés spéciales des courbes du troisième 

 ordre, et, qu'indépendamment de la simplification des calculs, elles peuvent 

 apporter une grande facilité dans les recherches entreprises par la méthode 

 analytique (i). 



» Dans un travail sur les courbes du troisième ordre, je suis parvenu à 

 deux solutions différentes, purement géométriques, du problème dont il est 

 ici question, lesquelles reposent sur des propriétés de ces courbes qui per- 

 mettent d'impliquer sur-le-champ, dans chacun des deux modes de descrip- 

 tion, les neuf points par lesquels la courbe doit passer. Dans la première 

 méthode, la seule recherche à faire est celle d'un dixième point, qui devient 

 la clef de la solution ; dans la deuxième, c'est une droite qu'il faut déter- 

 miner au moyen des neuf points donnés. 



» C'est la première de ces deux solutions que j'ai l'honneur de commu- 

 niquer aujourd'hui à l'Académie. 



» Cette solution est très-simple et s'applique à tous les cas particuliers 

 de la question ; elle a même, à cet égard, une portée remarquable ; car elle 

 se prête à des conditions qu'il est souvent difficile de faire entrer dans ces 

 questions géométriques. Ainsi, elle permet de supposer que plusieurs des 

 points donnés soient imaginaires, par couples ; ou bien que plusieurs points 

 soient infiniment voisins dans des directions données, ce qui implique des 

 conditions de contact, même d'ordres supérieurs. Par exemple, on peut 

 demander que la courbe soit tangente à une ou plusieurs droites en des 

 points donnés; qu'elle ait un point double ou conjugué, et que ses tangentes 

 en ce point (tangentes imaginaires dans le cas du point conjugué) soient 

 données; ou bien qu'elle ait un point de rebroussement, et que la tangente 

 en ce point soit déterminée; ou bien encore, que la courbe ait des points 

 d'inflexion dans des directions données, ou des contacts du deuxième, du 

 troisième, du quatrième ou même du cinquième ordre, avec une section 

 conique en des points donnés. « 



» La solution se prête, en outre, à diverses autres questions. Par exemple, 

 on construit immédiatement la tangente à la courbe en chacun des points 



diverses méthodes qui constituent les bases de la géométrie moderne, méthodes qu'on ne 

 peut plus négliger dans l'enseignement général des mathématiques. 



(i) On peut consulter surtout, au sujet des différentes formes analytiques de l'équation des 

 courbes du troisième ordre , le grand ouvrage de M. Plucker, intitulé : System der analytls- 

 chen Géométrie, auf ncue Betrachtungsweisen gcgrùndet, and insbesondere eine àusfiïhrlicht: 

 Théorie der Curven dritler ordnung enthaltend. Berlin, 1 835 ; in-4°. 



