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 donnés, et l'on détermine les points dans lesquels la courbe rencontrera 

 une droite donnée de position, c'est-à-dire qu'on forme immédiatement, au 

 moyen seulement des neuf points donnés, l'équation du troisième degré 

 d'où dépendra la détermination des points d'intersection de la courbe par 

 une droite : on conçoit qu'ici une équation du troisième degré est indis- 

 pensable, puisqu'il y a trois points inséparables à déterminer ensemble. 



» Enfin, le théorème d'où dérive cette solution constitue une propriété 

 générale des courbes du troisième ordre, qui est du même genre que celle 

 des rapports anfiarmoiiiques dans la géométrie des coniques, et qui peut 

 paraître propre, par le grand nombre de conséquences qu'elle embrasse, à 

 devenir la base d'une théorie des courbes du troisième ordre. 



» Idée de la méthode. On détermine par couples les points de la courbe 

 qui doit passer par les neuf points donnés; ces couples de points sont les 

 intersections d'une série de Coniques passant par quatre des points donnés, 

 par des droites issues d'un point fixe déterminé convenablement ; ces droites 

 correspondant, une à une respectivement, aux coniques d'après une loi fort 

 simple. Mais il faut observer que c'est théoriquement, et seulement pour la 

 démonstration de la méthode, que l'on considère ces coniques; car leurs 

 points d'intersection par les droites se construisent immédiatement, sans 

 qu'on ait besoin de tracer ces courbes. 



» La correspondance entre ces coniques qui passent par quatre points, et 

 les droites qui les coupent dans les points qui doivent former la courbe du 

 troisième ordre cherchée, résulte de deux propriétés de ce système de coni- 

 ques, dont une repose sur la notion du rapport anharmonique qui forme la 

 base de nos éléments de Géométrie supérieure. Voici l'énoncé de ces deux 

 propositions : 



» Quand plusieurs coniques passent par quatre mêmes points ( réels ou 

 imaginaires), i°. Les polaires d'un cinquième point prises par rapport à 

 ces courbes, passent toutes par un même point; 



» i°. Les polaires relatives à quatre courbes déterminées ont toujours 

 le même rapport anharmonique, quel que soit le cinquième point (i). 



» On peut encore dire que les polaires de deux points, pris arbitraire- 

 ment, forment deux faisceaux komographiques . 



(i) La première de ces deux propositions , aujourd'hui bien connue , a été donnée pour la 

 première fois par M. Lamé , dans son ouvrage intitulé : Examen des différentes méthodes 

 employées pour résoudre les problèmes de Géométrie. Paris, 1818; in-8°. La seconde est 

 démontrée depuis quelques années dans le Cours de Géométrie supérieure de la Faculté des 

 Sciences. 



