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 cette courbe est du troisième ordre. On reconnaît d'ailleurs sans difficulté, 

 qu'elle passe par les quatre points communs aux coniques et parle point P. 

 fie théorème est donc démontré. 



» Remarque. Les coefficients de l'équation sont des quantités connues, 

 de sorte que cette équation, étant résolue, fait connaître les points dans 

 lesquels la- courbe décrite rencontrera la droite donnée L. 



» Construction de la courbe déterminée par neuf points donnés. Soient a, 

 b, c, d, e,f, g, h, i ces neuf points. Concevons une série de coniques C, 

 C, C",... passant par les quatre points a, b, c, d. Que les trois premières C, 

 C, C" passent, respectivement, par les trois points e, f, g ; et qu'après avoir 

 mené d'un point P, pris arbitrairement, des droites à ces trois points, les- 

 quelles correspondront aux trois coniques, une à une respectivement, on en 

 mène une quatrième correspondante à une quatrième conique de façon que 

 le rapport anharmonique des quatre droites soit égal à celui des polaires 

 d'un même point prises par rapport aux quatre coniques, ou simplement 

 à celui des tangentes à ces courbes en leur point a. Les points d'inter- 

 section des coniques par les droites correspondantes seront, d'après le 

 théorème qui vient d'être démontré, sur une courbe du troisième ordre qui 

 passera par les sept points a, b, c, d, e, /, g et par le point P qui a été pris 

 arbitrairement. 



» Si l'on veut que la courbe passe par le huitième point h, il suffit de 

 prendre le point P de manière que le rapport anharmonique des quatre 

 droites Pe, P/, Pg, Vh soit égal à celui des tangentes aux quatre coniques 

 G, C, C", C" qui passent, respectivement, parles points e, J] g, h. Le lieu 

 du point P qui satisfait à cette condition est, comme on sait, une section 

 conique menée par les quatre points, et qui se détermine sans difficulté. Eu 

 plaçant donc le point P arbitrairement sur cette conique, on aura une 

 courbe du troisième ordre qui passera par les huit points a, b, c, d, e, /, 

 g, h. On pourra ainsi décrire une infinité de courbes passant par ces huit 

 points. Il s'agit de déterminer celle qui passera par le neuvième point 

 donné i. Or cela est facile. Car on pourra déterminer pareillement une 

 seconde conique passant par les quatre points e,f, g, i et telle, que si l'on 

 place le point P sur cette courbe, on décrira une courbe du troisième ordre 

 qui passera par les huit points a, b, c, d, e, j\ g, i. Donc, en prenant pour 

 le point P le point d'intersection des deux coniques, lequel sera toujours 

 réel et unique, puisque ces deux courbes ont déjà trois points communs 

 e,J, g, la courbe décrite passera par les neuf points donnés. Ainsi le 

 problème est résolu. 



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