( V ) 

 leurs a, ë, 7,... sous le nom de clefs, et les polynômes A, B, C,... qui les 

 renferment, sous le nom de fadeurs symboliques du produit ABC... 

 définitivement obtenu. Les substitutions ou transmutations, qui consiste- 

 ront à remplacer les produits des clefs prises n k n par certaines quantités, 

 seront indiquées à l'aide du signe ^rrr^ que j'ai déjà employé dans un autre 

 Mémoire; et il est clair que du système de ces transmutations dépendront 

 la valeur et les propriétés du produit ABC... Ajoutons qu'il suffira géné- 

 ralement d'intervertir l'ordre dans lequel sont rangés les facteurs A ' , B, 

 C,... du produit ABC... pour altérer la valeur de ce même pioduit. 



» Les clefs algébriques, telles que je viens de les définir, permettent de 

 résoudre avec une grande facilité des questions d'analyse ou de mécanique, 

 dans lesquelles l'application des méthodes ordinaires entraînerait de longs 

 et pénibles calculs. C'est ce que je me propose de montrer, avec quelques 

 détails, dans une suite de Mémoires que j'aurai l'honneur de présenter 

 successivement à l'Académie. Pour donner une idée des résultats auxquels 

 on est ainsi conduit, je me bornerai aujourd'hui à deux exemples. Je com- 

 mencerai par faire voir que la théorie des clefs résout généralement le pro- 

 blème de l'élimination des inconnues entre plusieurs équations linéaires 

 ou non linéaires; puis je montrerai comment s'introduisent dans le calcul 

 trois clefs, correspondantes aux trois dimensions de l'espace, qui four- 

 nissent le moyen d'obtenir sous une forme très-simple la solution d'un 

 grand nombre de problèmes de géométrie et de mécanique. 



ANALYSE. 



» Supposons d'abord qu'il s'agisse d'éliminer n inconnues x, y, z,... 

 entre n équations dont les premiers membres sont des fonctions linéaires et 

 homogènes de ces inconnues, les seconds membres étant réduits à zéro. 

 Soient d'ailleurs A, B, C,... ce que deviennent ces premiers membres, 

 quand on y remplace les n inconnues ce, y, z,... par n clefs correspondantes 



a, ê, 7, Enfin, concevons qu'après avoir multiplié ces clefs n à n, en 



tenant compte de l'ordre dans lequel les multiplications sont effectuées, on 

 convienne, i° de remplacer par zéro chaque produit dans iequel entre 

 deux ou plusieurs fois une même clef; a° de substituer toujours deux quan- 

 tités égales aux signes près, mais affectées de signes contraires, à deux pro- 

 duits qui se déduisent l'un de l'autre à l'aide d'un échange opéré entre 

 deux clefs. En d'autres termes, supposons que les n clefs a, ë, 7,... soient 

 assujetties aux transmutations de la forme 



a a i-=ro, ë 2 :=ro,..., S«^=r— aë, etc., 



10.. 



