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l'autre système sont planes, de manière que pour avoir l'équation du pro- 

 blème, il suffit d'exprimer la condition relative aux lignes de première 

 courbure. Or, c'est ce que l'on peut faire très-aisément; en effet, ayant 

 pris le plan des (z, x) parallèle aux plans de ces lignes, on n'a qu'à écrire 

 que l'équation générale des lignes de courbure d'une surface quelconque 



est satisfaite pour —- = o. On obtient ainsi une équation aux différen- 

 tielles partielles du second ordre, dont l'intégration s'effectue immédiate- 

 ment. Le problème qui fait l'objet 'de ce Mémoire paraît offrir des diffi- 

 cultés plus sérieuses. On ne connaît à priori aucune propriété des plans des 

 lignes de courbure ; par suite on se trouve, dès le début, très-embarrassé 

 pour exprimer les conditions de l'énoncé. Nous avons dû employer une 

 méthode indirecte dont on n'a pas encore fait d'applications, et qui permet 

 cependant d'aborder plusieurs questions difficiles de géométrie générale, 

 comme nous le montrerons dans une autre occasion. Cette méthode consiste 

 à rapporter les différents points de la surface cherchée sur une sphère de 

 rayon i , au moyen de rayons parallèles aux normales de la surface, et à 

 déterminer, au moyen des conditions fournies par l'énoncé, les lignes 

 sphériques transformées des lignes de courbure de la surface. De la con- 

 naissance de ces lignes, résulte celle de l'équation aux différentielles par- 

 tielles de la surface. On intègre ensuite aisément cette équation, en s'aidant 

 des propriétés des mêmes lignes sphériques transformées des lignes de 

 courbure de la surface. 



» Nous allons, dans cet extrait de notre travail, indiquer rapidement les 

 résultats auxquels nous sommes parvenu. 



» On sait, d'après un théorème de Lancret, que si dans une surface il 

 se trouve une ligne de coui'bure plane, le plan de cette ligne coupe la 

 surface partout sous le même angle; de là résidte que la transformée sphé- 

 rique d'une ligne de courbure plane doit toujours être un cercle. On est 

 donc conduit, pour avoir les transformées sphériques des lignes de cour- 

 bure des surfaces à lignes de courbure planes, à chercher deux séries de 

 cercles tracés sur la sphère de rayon i, et se coupant d'ailleurs à angle 

 droit. Or je démontre que si sur un rayon de la sphère on prend deux 

 points m et m', dont le produit des distances au centre O soit égal à i , 

 puis que l'on tire les deux lignes mT, m'T' perpendiculaires à Om et perpen- 

 diculaires entre elles, les cercles du premier système sont les intersections 

 de la sphère avec les plans conduits suivant mT, et les cercles du second 

 système les intersections de la sphère avec les plans conduits suivant m'T. 



