(83) 



Cela étant, on trouve aisément l'équation aux dirférentielles partielles du 

 second ordre de la surface, équation qui est 



ipq [m (i -h q* ) — \f i + p a + ? 2 ] r 

 +[/w 2 (.+< 7 2 ) N /i+/' 2 +î 2 -2«(n-/J 2 ):(i+? 2 )+(i+p 2 )v/i+/? a +î 2 j^ 

 + pqm[,?n(i-hp 2 ) — s /n-p 2 + ^ a ] t = o, 



en prenant O/w pour axe des z, OX parallèle à mT pour axe des x, 



OY parallèle à m'T' pour axe des y, et représentant par — la distance O/w. 



» L'équation (() s'intègre sans difficulté. Par des considérations géomé- 

 triques ou par l'emploi de la méthode de la caractéristique, on trouve 

 d'abord les deux intégrales premières, 



,_ sji+p' + g^-m , / y/i + p' + ^-w V 



puis on déduit l'équation en termes finis, en appliquant le procédé 

 indiqué par Monge dans son Application de V Analyse à la Géométrie 

 (page 166, 5 e édition). On voit ainsi que cette équation résulte de l'élimi- 

 nation de a. et ]3 entre les trois équations suivantes : 



z = p[x + <? {a)] +q[y + <?<{$)], z=ctœ+f( a ), z= py -+-/, (j3), 



où l'on pose 



— a, = ,o, 



p mq I ' 



£ (a) = y/a 2 — ;72 2 4- I 



«/ (a»-m»-f-i)* 



(f'-i+')' 



; /; 



» Enfin, les surfaces à lignes de courbure planes sont susceptibles d'une 

 génération assez simple. Supposant d'abord le cas particulier où la fonc- 

 tion /■(«) s'annule, on reconnaît que la surface est l'enveloppe d'une 

 sphère dont le centre parcourt une courbe quelconque Q, tracée dans le plan 



