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 bres entiers distincts de m, n; et nommons l la plus grande des deux diffé- 

 rences 



m — [x, n — v, 



ou leur valeur commune, si elles sont égales. On pourra, si / est positif, 

 satisfaire à l'équation 



(i) u = vf(j?) + wF(j:), 



en prenant pour 



u, v, w 



trois fonctions entières de x, dont les degrés soient respectivement 



/ — i, p., v. 



s Démonstration. En effet, supposons 



(a) v= a -+- a,x-f- ... -+- a^xf, w = ê -+- 6, x •+■'... -\-î„x v ; 



à ces valeurs de v, w correspondra, en vertu de l'équation (i), une valeur 

 de n, qui sera de la forme 



(3) u= w H- W| ar + ...+ tù l+ii+ .x l +i>+', 



le degré /+/t + vdeu considéré comme fonction de x, étant le plus grand 

 des nombres 



m -+- v, n-h [i, 



ou leur valeur commune, s'ils sont égaux, et les quantités 

 étant des fonctions linéaires des coefficients 



■«„, a, 



§o> »«»•■•> »»• 



D'ailleurs, le nombre de ces coefficients étant //.-+- v -+- 2, on pourra, en 

 attribuant à l'un d'eux une valeur arbitraire, choisir les autres de manière 

 à faire évanouir jx + v + i termes dans la fonction u ; et si ces termes sont 

 ceux qui renferment les plus hautes puissances de x, c'est-à-dire si l'on 

 choisit les coefficients a , a, , . . . , a M , S , ê, , . . . , 6» , ou plutôt leurs rapports, 

 de manière à vérifier les équations 



(4) w, = o, w /+ , = o,..., u, + +ï =o; 



