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 alors u, réduit à la forme 



(5) ii = w -+- <ù t x-\- ... -t 



«/_,*'-', 



sera, non plus du degré / + fi+v, mais du degré / — i. Cela posé, les poly- 

 nômes u, v, w satisferont évidemment aux conditions énoncées dans le 

 théorème. 



» Quant à la détermination précise des valeurs de u, v, w, on pourrait 

 l'effectuer, dans tous les cas, en tirant des équations (4) les valeurs des 

 coefficients a , a,,..., a^, 6 , ê„..., ê., , et en substituant ces valeurs dans 

 les formules (i) et (5). Il y a plus : dans le cas particulier où l'on a 



(6) m — jx = n — v, 



on peut, comme l'a remarqué M. Liouville, déduire d'une formule d'inter- 

 polation, donnée dans la Note V de mon analyse algébrique, les valeurs 

 de u, v, w, exprimées en fonctions symétriques des racines des deux 

 équations 



(?) f» = o, (8) F(*) = o, 



attendu qu'en vertu de la formule (i), on a, pour chacune des valeurs de x 

 propres à vérifier l'équation (7), 



<9) ^ = F(*), 



et pour chacune des valeurs de x propres à vérifier l'équation (8), 



(10) ¥0.0i* 



Mais, après avoir exprimé u, v, w en fonctions symétriques des racines des 

 équations (7) et (8), on devrait encore transformer ces fonctions symétri- 

 ques en fonctions des coefficients que renferment f ( x ) et F ( x). Enfin, dans 

 le cas où la condition (6) est remplie, on pourrait exprimer les diverses 

 valeurs de u, v, w correspondantes aux diverses valeurs de p, en fonction 

 des quotients et des restes fournis par les divisions qu'entraîne la recherche 

 du plus grand commun diviseur entre f(x) et ¥(x). J'ajoute que, si l'on 

 considère les coefficients a , a,,..., a^; ë , ë,,..., 6„ comme des clefs algé- 

 briques, il ne sera plus nécessaire de recourir ni à la résolution des équa- 

 tions (/j), ni à aucune des opérations algébriques dont nous venons de 

 parler, et qu'alors une simple multiplication suffira, dans tous les cas, 

 pour déduire des fonctions entières u, v, w déterminées par les équa- 



aa. . 



