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» Ainsi donc le citrate de chaux se transforme, par une véritable fermen- 

 tation, en acides acétique, butyrique, carbonique et hydrogène, comme l'in- 

 dique l'équation suivante : 



4 (C 2 H 5 O* ' , 3 HO) -+- 4 HO = 3 (C 4 H* O 4 ) + i (C* H 8 O 4 ) + 20 CO 2 + H 8 . 



» Cependant la présence constante de l'hydrogène dans les produits de 

 la transformation de l'acide citrique peut permettre de penser que le dédou- 

 blement de cet acide s'opère d'abord de manière à donner de l'acide lacti- 

 que suivant la formule 



4(C ,2 H s O", 3HO) + 4HO=3(C 4 H 4 4 ) + 4(C 6 H 8 6 ) + i2C0 2 , 



et que l'acide lactique formé se décompose en acides butyrique, carbonique 

 et en hydrogène, suivant la formule 



4(C 8 H 6 6 ) = a(C 8 H 8 4 ) + 8C0 2 -+- H 8 . 



géométiue. — Sur les surfaces dont les lignes de courbure sont planes ; 



par M. J.-A. Serret. 



(Commissaires, MM. Liouville, Chasles.) 



« M. Ossian Bonnet a présenté à l'Académie, dans la séance du 10 janvier, 

 un Mémoire relatif aux surfaces dont toutes les lignes de courbure sont 

 planes. L'auteur obtient, pour représenter ces surfaces, une équation diffé- 

 rentielle partielle du deuxième ordre, dont il forme ensuite l'intégrale par- 

 les méthodes connues; enfin, il déduit de son analyse un mode de géné- 

 ration assez simple pour les surfaces dont il s'agit. 



3 La question intéressante que M. Bonnet a traitée, est remarquable en 

 ce qu'elle ne dépend pas proprement du calcul intégral aux différentielles 

 partielles; effectivement, les fonctions arbitraires s'introduisent d'elles- 

 mêmes, et la solution exige seulement l'intégration d'une équation diffé- 

 rentielle ordinaire. C'est ce que je me propose de montrer dans cette Note. 



» D'après un théorème connu et rappelé par M. Bonnet dans l'extrait de 

 son Mémoire, si une surface a une ligne de courbure plane, le plan de 

 cette ligne coupe la surface partout sous le même angle. Si donc une surface 

 est telle, que les lignes de courbure de l'un des systèmes soient planes, on 

 aura 



(1) ax -\- by -+- cz = u, 



(2) — ap — bq ■+■ c = l \j 1 -+- p 2 -+- q*. 



Dans ces équations, x, y, z désignent les coordonnées rectangulaires de la 



